Équations différentielles - Cours Maths 2ème Bac Sciences Mathématiques B

I.ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE

1.L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE $y’ = a y$ ($a \in \mathbb{R}^*$)

Remarque

À retenir

Soit $a$ un réel non nul. L'équation $y' = a y$ où l'inconnue est une fonction numérique $y$, dérivable sur $\mathbb{R}$ (ou sur un intervalle de $\mathbb{R}$) est appelée équation différentielle du premier ordre. Remarquons que la fonction $y_0 : x \mapsto e^{a x}$ est une solution particulière de cette équation. Le but de ce paragraphe est la détermination de toutes les fonctions $y$ vérifiant la relation $y' = a y$. $y$ est appelé la solution générale de cette équation différentielle. Signalons qu'au cours de cette leçon, on écrit par exemple $y = \lambda e^{a x}$ au lieu d'écrire $y(x) = \lambda e^{a x}$ ou $y : x \mapsto \lambda e^{a x}$.

Proposition

Proposition 1

La solution générale de l'équation différentielle $y' = a y$ est : $y = \lambda e^{a x}$ où $\lambda \in \mathbb{R}$.

Preuve

Soit $y$ une solution de l'équation différentielle $(E) : y' = a y$ et posons $z = y e^{-a x}$. On a alors $z' = y' e^{-a x} – a y e^{-a x} = (y' – a y) e^{-a x}$. Puisque $y' = a y$ alors $z' = 0$. Il s'ensuit donc que la fonction $z$ est constante sur $\mathbb{R}$. En posant $z = \lambda$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$ on obtient $y = \lambda e^{a x}$. On vérifie aisément que la fonction $x \mapsto \lambda e^{a x}$ est bien une solution de $(E)$.

Remarque

Pour tout $(x_0, y_0) \in \mathbb{R}^2$ il existe une solution unique $f$ de l'équation différentielle $y' = a y$ vérifiant la condition $f(x_0) = y_0$.

Exemple

Exemples

La solution générale de l'équation différentielle $(E) : y' + 2y = 0$ est : $y = \lambda e^{-2x}$ avec $\lambda \in \mathbb{R}$. Soit $f$ la solution de l'équation $(E)$ vérifiant la condition $f(0) = 3$. On a alors pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = \lambda e^{-2x}$. Donc : $f(0) = 3 \Longleftrightarrow \lambda e^0 = 3 \Longleftrightarrow \lambda = 3.$ Par suite, pour tout $x \in \mathbb{R} : f(x) = 3e^{-2x}$.
Dans une culture de microbes, le nombre de microbes à l'instant $t$, exprimé en heures, peut être considéré comme une fonction $y$ à valeurs réelles de la variable $t$. La vitesse de prolifération à l'instant $t$ du nombre des microbes est la dérivée $y'$ de cette fonction. On a constaté que $y'(t) = k y(t)$, où $k$ est un coefficient strictement positif. On désigne par $N$ le nombre de microbes à l'instant $t = 0$. [Figure : Photographie microscopique d'une culture de microbes illustrant la prolifération cellulaire] Déterminons l'unique solution de l'équation différentielle $y' = ky$ telle que $y(0) = N$ : La solution générale de l'équation $y' = ky$ est $y = \alpha e^{kt}$ où $\alpha \in \mathbb{R}$. Si on désigne par $f$ la solution de $y' = ky$ vérifiant $y(0) = N$, on trouve $\alpha = N$, ce qui donne $f(t) = N e^{kt}$.

Application

Applications

Résoudre les équations différentielles suivantes : $y' = 5y$ ; $y' + \sqrt{2}y = 0$ ; $y' = (\ln 2) y$.
Déterminer la solution de l'équation différentielle $3y' + 5y = 0$ vérifiant $y(0) = -7$.

2.L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE $y’ = a y + b$ ($a \in \mathbb{R}^*, b \in \mathbb{R}$)

Remarque

À retenir

Soit $a$ un réel non nul. Déterminons la solution générale de l'équation différentielle $y' = a y + b$. On remarque bien que $y_0 = -\dfrac{b}{a}$ est une solution de l'équation $y' = a y + b$ car $y'_0 = 0$ et $a y_0 + b = 0$. Soit $y$ une solution de l'équation $y' = a y + b$. Puisque $y'_0 = a y_0 + b$ alors $y' – y'_0 = a(y – y_0)$. Donc $Y = y – y_0$ est une solution de l'équation $Y' = a Y$, et d'après ce qui précède on tire : $Y = \lambda e^{a x}$ où $\lambda \in \mathbb{R}$. Par conséquent : $y = \lambda e^{a x} – \dfrac{b}{a}$. Réciproquement, si $y = \lambda e^{a x} – \dfrac{b}{a}$, alors $y$ est solution de l'équation différentielle $y' = a y + b$.

Proposition

Proposition 2

La solution générale de l'équation différentielle $y' = a y + b$ est : $y = \lambda e^{a x} – \dfrac{b}{a}$ où $\lambda \in \mathbb{R}$.

Exemple

La solution générale de l'équation différentielle $y' = 3y + 2$ est : $y = \lambda e^{3x} – \dfrac{2}{3}$ où $\lambda \in \mathbb{R}$. Déterminons la solution $f$ de l'équation $y' = 3y + 2$ qui vérifie la condition $f(-1) = \dfrac{1}{3}$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f(x) = \lambda e^{3x} – \dfrac{2}{3}$. La condition $f(-1) = \dfrac{1}{3}$ donne $\lambda e^{-3} – \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$ et donc $\lambda = e^3$. Il s'ensuit donc :

(\forall x \in \mathbb{R}) f(x) = e^{3x+3} – \dfrac{2}{3}

Application

Applications

Résoudre les équations différentielles suivantes : $\[y' + 4y - 7 = 0 ; y' = -9y + 2 ; 3y' + 5y = 8 ; y'' = -2y' + 3\]$
Déterminer la solution $f$ de l'équation $y' – 6y = 3$ vérifiant la condition : $f\left(\dfrac{1}{6}\right) = 0$.
Déterminer la solution $g$ de l'équation $y' = \pi y + \sqrt{2}$ vérifiant la condition : $g(0) = -1$.

II.ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU SECOND ORDRE

1.L’ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE $y” + a y’ + b y = 0$ ($(a;b) \in \mathbb{R}^2$)

Remarque

À retenir

Soit $(a, b) \in \mathbb{R}^2$. L'équation $y'' + a y' + b y = 0$ où l'inconnue est une fonction numérique $y$, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$ (ou sur un intervalle de $\mathbb{R}$) est appelée équation différentielle du second ordre. Cas Particuliers :

Cas où $a = b = 0$ : Dans ce cas, l'équation différentielle ci-dessus devient sous la forme $y'' = 0$ et ceci est équivalent à : $y = \alpha x + \beta$ avec $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$.
Cas où $b = 0$ : Dans ce cas, l'équation différentielle ci-dessus devient sous la forme $y'' + a y' = 0$ ou aussi $(y' + a y)' = 0$, et ceci est équivalent à : $(\exists \beta \in \mathbb{R}) ; \; y' + a y = \beta$. D'après la proposition 2 du paragraphe précédent, on obtient : $y = \alpha e^{-a x} + \dfrac{\beta}{a}$ où $\alpha \in \mathbb{R}$.

On admet les résultats cités dans la proposition suivante :

Proposition

Proposition 3

Soit $a$ et $b$ two réels quelconques. On considère l'équation différentielle : $(E) : y'' + a y' + b y = 0$. L'équation caractéristique de $(E)$ est $r^2 + a r + b = 0$. Son discriminant est : $\Delta = a^2 – 4b$.

Si $\Delta > 0$, alors l'équation caractéristique admet deux racines réelles distinctes $r_1$ et $r_2$, et la solution générale de $(E)$ est donnée par : $y = \alpha e^{r_1 x} + \beta e^{r_2 x}$ où $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$.
Si $\Delta = 0$, alors l'équation caractéristique admet une racine double $r$, et la solution générale de $(E)$ est donnée par : $y = (\alpha x + \beta) e^{r x}$ où $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$.
Si $\Delta < 0$, alors l'équation caractéristique admet deux racines complexes conjuguées. En posant $r_1 = p + i q$ et $r_2 = p – i q$ avec $(p; q) \in \mathbb{R}^2$, la solution générale de $(E)$ est donnée par : $y = \left(\alpha \cos(qx) + \beta \sin(qx)\right) e^{px} \text{où} (\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$

Exemple

On considère l'équation différentielle : $(E_m) : y'' – 2y' + (1 – m)y = 0$ où $m$ est une constante réelle. L'équation caractéristique de $(E_m)$ est $r^2 – 2r + (1 – m) = 0$. Son discriminant est : $\Delta = 4m$. D'où la discussion suivante :

Si $m = 0$, alors $\Delta = 0$ et l'équation caractéristique admet une solution double $r = 1$. D'après la proposition 3, la solution générale de $(E_0)$ est : $y = (\alpha x + \beta) e^x$ avec $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$.
Si $m > 0$, alors $\Delta > 0$ et l'équation caractéristique admet deux solutions réelles distinctes qui sont : $r_1 = 1 + \sqrt{m} \text{et} r_2 = 1 – \sqrt{m}$ D'après la proposition 3, la solution générale de $(E_m)$ est : $y = \alpha e^{(1 + \sqrt{m})x} + \beta e^{(1 – \sqrt{m})x}$ où $(\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$.
Si $m < 0$, alors $\Delta < 0$ et l'équation caractéristique admet deux solutions complexes conjuguées qui sont : $r_1 = 1 + i\sqrt{-m} \text{et} r_2 = 1 – i\sqrt{-m}$ D'après la proposition 3, la solution générale de l'équation différentielle $(E_m)$ est : $y = \left(\alpha \cos\left(x\sqrt{-m}\right) + \beta \sin\left(x\sqrt{-m}\right)\right) e^x \text{avec} (\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$

Application

Applications

Résoudre les équations différentielles suivantes : $\[y'' + y' - 2y = 0 ; 4y'' - 4y' + y = 0 ; y'' - y' + y = 0 ; y'' = -2y' + 3\]$
Discuter selon les valeurs du réel $m$ l'ensemble de solutions de l'équation : $(E_m) : y'' – 2my' + my = 0$.
Soit $(E)$ l'équation différentielle : $4y'' + 5y' + y = 2e^{-2x}(7x – 11)$.
1. Vérifier que la fonction $g$ définie par $g(x) = 2xe^{-2x}$ est une solution particulière de $(E)$ puis trouver la solution générale de $(E)$.
2. Déterminer la solution $f$ de $(E)$ dont la courbe passe par le point $A(0, -1)$ et admet en ce point une tangente parallèle à l'axe des abscisses.

Remarque

Remarques

Pour tout $(x_0; y_0; z_0) \in \mathbb{R}^3$ il existe une unique solution de l'équation $(E) : y'' + a y' + b y = 0$ vérifiant les conditions initiales : $y(x_0) = y_0$ et $y'(x_0) = z_0$.
L'équation $y'' + \omega^2 y = 0$ est un cas particulier de l'équation différentielle $(E) : y'' + a y' + b y = 0$ :
- La solution générale de l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ est : $y = \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x) \text{où} (\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$
- La solution générale de l'équation différentielle $y'' – \omega^2 y = 0$ est : $y = \alpha e^{\omega x} + \beta e^{-\omega x} \text{où} (\alpha; \beta) \in \mathbb{R}^2$
En gros, on peut exprimer les conditions initiales d'une équation différentielle par diverses formules, par exemple :
- Le point $A(x_0, y_0)$ appartient à la courbe de $f$ ce qui se traduit par : $y_0 = f(x_0)$.
- La fonction $f$ prend la valeur $y_0$ en $x_0$ ce qui se traduit par : $y_0 = f(x_0)$.
- La courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$ admet au point $A(x_0, y_0)$ une tangente de pente $y_1$ : $y_0 = f(x_0)$ et $y_1 = f'(x_0)$.
Dans les sciences physiques, on rencontre souvent les équations différentielles $ay'' + by' + cy = 0$ sous la forme (à titre d'exemple) : $a \dfrac{d^2 x}{dt^2} + b \dfrac{dx}{dt} + cx = 0$ ou sous la forme : $a \ddot{x} + b \dot{x} + c x = 0$.