Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un élément de $I$.
On dit que $f$ est dérivable en $x_0$ s'il existe un réel $\ell$ tel que : $\lim_{x \to x_0} \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \ell$.
Le nombre $\ell$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_0$. Il est noté $f'(x_0)$.
Remarque
Remarques
On trouve parfois, notamment en physique, la notation $\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}(x_0)$ pour le nombre dérivé de $f$ en $x_0$.
On trouve également, la notation $\dot{f}(x_0)$, lorsque la variable désigne le temps.
Un simple changement d'écriture montre, en s'appuyant sur la composition des limites, que $f$ est dérivable en $x_0$ si la fonction $h \mapsto \dfrac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h}$ a une limite finie en $0$ et alors :
La notion de dérivabilité, étant définie à l'aide d'une limite, est une notion locale.
Définition
Définition 2
Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$.
La droite $(T)$ d'équation $y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0)$ est appelée la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ au point d'abscisse $x_0$.
La fonction $x \mapsto f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0)$ s'appelle l'approximation affine de $f$ au voisinage de $x_0$.
On écrit alors :
\[f(x) \simeq f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0) \text{ au voisinage de } x_0 \text{ ou } f(x_0 + h) \simeq h f'(x_0) + f(x_0) \text{ au voisinage de } 0\]
Proposition
Proposition 1
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un élément de $I$.
La fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si, et seulement si, il existe $\ell \in \mathbb{R}$ et une fonction $\varphi : I \to \mathbb{R}$ tels que :
1.2. DÉRIVABILITÉ À DROITE – DÉRIVABILITÉ À GAUCHE
Définition
Définition 3
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $[x_0, x_0 + r[$ où $r \in \mathbb{R}_+^*$.
On dit que $f$ est dérivable à droite de $x_0$ s'il existe un réel $\ell_1$ tel que : $\lim_{x \to x_0^+} \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \ell_1$.
Le nombre $\ell_1$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à droite en $x_0$. Il est noté $f_d'(x_0)$.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle du type $]x_0 – r, x_0]$ où $r \in \mathbb{R}_+^*$.
On dit que $f$ est dérivable à gauche de $x_0$ s'il existe un réel $\ell_2$ tel que : $\lim_{x \to x_0^-} \dfrac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \ell_2$.
Le nombre $\ell_2$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ à gauche en $x_0$. Il est noté $f_g'(x_0)$.
Proposition
Proposition 2
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un élément de $I$.
La fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si, et seulement si, elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$, avec $f_d'(x_0) = f_g'(x_0)$, et alors :
\[f'(x_0) = f_d'(x_0) = f_g'(x_0)\]
Exemple
Exemple
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
Dérivabilité à droite en $x_0 = -1$ :
On a : $\lim_{x \to -1^+} \dfrac{f(x) – f(-1)}{x + 1} = \lim_{x \to -1^+} (x + 1) \sin\left(\dfrac{1}{x + 1}\right)$. On sait que pour tout $x \in ]-1, +\infty[$, $\left|\sin\left(\dfrac{1}{x + 1}\right)\right| \le 1$.
Il s'ensuit donc que $\left|(x + 1) \sin\left(\dfrac{1}{x + 1}\right)\right| \le |x + 1|$. Comme $\lim_{x \to -1^+} |x + 1| = 0$ alors $\lim_{x \to -1^+} (x + 1) \sin\left(\dfrac{1}{x + 1}\right) = 0$.
Donc $\lim_{x \to -1^+} \dfrac{f(x) – f(-1)}{x + 1} = 0$. D'où, la fonction $f$ est dérivable à droite en $x_0 = -1$ et $f_d'(-1) = 0$.
On peut interpréter ce résultat graphiquement comme suit :
« La courbe représentative de $f$ admet une demi-tangente horizontale à droite en son point d'abscisse $-1$ »
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$ et $x_0$ un élément de $I$.
Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors $f$ est continue en $x_0$.
Remarque
Remarques
Une conséquence immédiate de la proposition 4 est la suivante :
toute fonction dérivable sur un intervalle est continue sur cet intervalle.
La réciproque de la proposition 4 est fausse. Par exemple, la fonction $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ mais n'est pas dérivable en $0$.
2.2. DÉRIVÉE DE LA FONCTION COMPOSÉE
Proposition
Proposition 5
Soit $I$ et $J$ deux intervalles ouverts, et $f : I \to \mathbb{R}$ et $g : J \to \mathbb{R}$ deux fonctions numériques, avec $f(I) \subset J$. Soit $x_0$ un élément de $I$. Si :
la fonction $f$ est dérivable en $x_0$,
la fonction $g$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$,
alors la fonction $g \circ f$ est dérivable en $x_0$ et de plus :
\[(g \circ f)'(x_0) = g'(f(x_0)) \times f'(x_0)\]
Remarque
Corollaire
Si $f$ est dérivable sur un intervalle $I$ et $g$ est dérivable sur un intervalle $J$ tel que $f(I) \subset J$, alors la fonction $g \circ f$ est dérivable sur $I$ et de plus, pour tout $x \in I$ :
\[(g \circ f)'(x) = f'(x) \times g'(f(x))\]
Exemple
Exemples
On considère la fonction $U$ définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[U(x) = \cos\left(\sqrt{x^2 + 5}\right)\]
En posant : $f(x) = \sqrt{x^2 + 5}$ et $g(x) = \cos x$
On aura pour $x \in \mathbb{R}$ :
\[U(x) = (g \circ f)(x)\]
Puisque $f$ et $g$ sont dérivables sur $\mathbb{R}$ et que $f(\mathbb{R}) \subset \mathbb{R}$ alors la fonction $U = g \circ f$ est aussi dérivable sur $\mathbb{R}$ et de plus, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
On considère la fonction $V$ définie sur $]1, 2[$ par :
\[V(x) = \tan\left(\dfrac{\pi}{x}\right)\]
En posant : $f(x) = \dfrac{\pi}{x}$ et $g(x) = \tan x$
On aura pour $x \in ]1, 2[$ : $V(x) = (g \circ f)(x)$
$f$ étant dérivable sur $]1, 2[$ et $f(]1, 2[) = \left]\dfrac{\pi}{2}, \pi\right[$.
Donc $g$ est dérivable sur $f(]1, 2[)$. Par suite, $V$ est dérivable sur $]1, 2[$ et de plus, pour tout $x \in ]1, 2[$ :
Montrer que la fonction $f : x \mapsto \sin(x \cos x)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ puis déterminer sa dérivée.
Etudier la dérivabilité de la fonction $g : x \mapsto \sin\left(\sqrt{x}\right) + \cos\left(x^3\right)$ puis définir sa fonction dérivée.
2.3. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RÉCIPROQUE
Proposition
Proposition 6
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$, et $x_0 \in I$.
Si $f$ est dérivable en $x_0$ avec $f'(x_0) \neq 0$ alors la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $y_0 = f(x_0)$ et de plus :
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Si $f$ est dérivable sur $I$ telle que la fonction $f'$ ne s'annule pas sur $I$ alors la fonction $f^{-1}$ est dérivable sur $J = f(I)$. De plus, on a pour tout $x \in J$ :
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $I = \left[0, \dfrac{\pi}{2}\right[$ par : $f(x) = x \sin x$
La fonction $f$ est dérivable sur $I$ en tant que produit de deux fonctions dérivables sur $I$. De plus, on a pour $x \in I$, $f'(x) = \sin x + x \cos x$. Puisque $f'(x) > 0$ pour tout $x \in \left]0, \dfrac{\pi}{2}\right[$, alors $f$ est strictement croissante sur $I$. Par suite, $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I) = I$.
On a $f\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{\pi}{12}$ et $f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{6 + \pi\sqrt{3}}{12}$. Or $f'\left(\dfrac{\pi}{6}\right) \neq 0$ donc la fonction $f^{-1}$ est dérivable en $\dfrac{\pi}{12}$ et on a :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sqrt{x^2 + 1} – x$
Montrer que $f$ est une bijection de $\mathbb{R}$ sur un intervalle $J$ à déterminer puis calculer $\left(f^{-1}\right)'(1)$.
Soit $g$ la fonction définie sur $[1, +\infty[$ par : $g(x) = x^3 – 3x – 3$
Montrer que la fonction $g$ admet une fonction réciproque puis déterminer son ensemble de définition.
Montrer que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans $[1, +\infty[$.
Montrer que $\left(g^{-1}\right)'(0) = \dfrac{1}{3(\alpha^2 – 1)}$.
2.4. DÉRIVÉE DE LA FONCTION ARCTANGENTE
Proposition
Proposition 7
La fonction $\text{Arctan}$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\text{Arctan}'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors la fonction $x \mapsto \text{Arctan}(u(x))$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par : $x \mapsto \dfrac{u'(x)}{1 + u^2(x)}$
Preuve
Preuve
On sait que la fonction $\text{Arctan}$ est la fonction réciproque de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = \left]-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right[$ par $f(x) = \tan x$. Puisque $f$ est dérivable sur $I$ et sa dérivée $f' : x \mapsto 1 + \tan^2 x$ ne s'annule pas sur $I$, alors sa fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable sur $f(I) = \mathbb{R}$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
Si $u$ est une fonction dérivable sur un intervalle $I$ alors la fonction $x \mapsto \text{Arctan}(u(x))$ est dérivable sur $I$ en tant que composée de deux fonctions dérivables. De plus, pour tout $x \in I$ :
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \text{Arctan}\left(\dfrac{x}{x^2 + 1}\right)$
Puisque la fonction $u : x \mapsto \dfrac{x}{x^2 + 1}$ est rationnelle alors elle est dérivable sur $\mathbb{R}$. Il s'ensuit que la fonction $f = \text{Arctan } u$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et de plus, pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
2. Étudier la dérivabilité de la fonction $f$ définie sur $[1, +\infty[$ par : $f(x) = \text{Arctan}\left(\sqrt{x^2 – 1}\right)$
3. Soit $g$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \text{Arctan } x – \text{Arctan}(x + 1) + \text{Arctan}\left(\dfrac{1}{x^2 + x + 1}\right)$
Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $g'(x) = 0$
2.5. DÉRIVÉE DE LA FONCTION RACINE $N$-IÈME
Proposition
Proposition 8
Soit $n$ un entier naturel supérieur ou égal à $2$.
La fonction $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ :
Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors la fonction $x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par :
On sait que la fonction $x \mapsto \sqrt[n]{x}$ est la fonction réciproque de la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}^+$ par $f(x) = x^n$.
Puisque $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et sa dérivée $f' : x \mapsto n x^{n-1}$ ne s'annule pas sur $\mathbb{R}_+^*$, alors sa fonction réciproque $f^{-1}$ est dérivable sur $f(\mathbb{R}_+^*) = \mathbb{R}_+^*$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ :
Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors la fonction $x \mapsto \sqrt[n]{u(x)}$ est dérivable sur $I$ en tant que composée de deux fonctions dérivables. De plus, pour tout $x \in I$ :
1) La fonction $x \mapsto \sqrt[3]{x}$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ : $\left(\sqrt[3]{x}\right)' = \dfrac{1}{3} x^{\frac{1}{3} – 1} = \dfrac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$
2) On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \sqrt[3]{8x – 5}$
La fonction $u : x \mapsto 8x – 5$ est dérivable et strictement positive sur l'intervalle $\left]\dfrac{5}{8}; +\infty\right[$. Par conséquent, la fonction $f$ est dérivable sur $\left]\dfrac{5}{8}; +\infty\right[$ et on a pour tout $x \in \left]\dfrac{5}{8}; +\infty\right[$ :
La fonction $x \mapsto x^r$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ et sa dérivée est la fonction $x \mapsto r x^{r – 1}$.
Si $u$ est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$ alors la fonction $x \mapsto (u(x))^r$ est dérivable sur $I$ et sa fonction dérivée est donnée par :
\[\left((u(x))^r\right)' = r \cdot u'(x) \cdot (u(x))^{r – 1}\]
Exemple
Exemple
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \left(x^2 – x + 5\right)^{\frac{7}{8}}$
La fonction $x \mapsto x^2 – x + 5$ est dérivable et strictement positive sur $\mathbb{R}$. Donc la fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ :
\[f'(x) = \left(\left(x^2 – x + 5\right)^{\frac{7}{8}}\right)' = \dfrac{7}{8}(2x – 1)\left(x^2 – x + 5\right)^{\frac{7}{8} – 1} = \dfrac{-7(2x – 1)}{8 \cdot \sqrt[8]{\left(x^2 – x + 5\right)^{15}}}\]
Application
Applications
Pour chacune des fonctions suivantes, déterminer les intervalles où elles sont dérivables puis donner les fonctions dérivées :
Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a < b$, et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$, telle que $f(a) = f(b)$.
Alors il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que $f'(c) = 0$.
Preuve
Preuve
Puisque $f$ est continue sur le segment $[a, b]$, elle admet un maximum et un minimum sur $[a, b]$.
S'ils sont tous les deux en $a$ ou $b$, la fonction $f$ est constante et donc dans ce cas $f' = 0$.
Sinon, soit le maximum $M$, soit le minimum $m$ est atteint dans $]a, b[$. Il existe donc un réel $c \in ]a, b[$ tel que $f(c) = m$ ou $f(c) = M$. Puisque $f$ est dérivable et présente un extremum en $c$ alors $f'(c) = 0$.
Interprétation géométrique
Considèrerons le graphe d'une fonction numérique continue sur un segment $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$.
Si le graphe comporte deux points distincts de même ordonnée, alors il existe au moins une tangente au graphe qui soit parallèle à l'axe des abscisses.
Bien noter que le théorème de Rolle fournit l'existence d'un réel $c$ tel que $f'(c) = 0$, mais ne garantit pas l'unicité.
Figure TikZ à convertir en image
Remarque
Interprétation cinématique
Considérons un marcheur qui se promène le long d'une route rectiligne et qui revient à son point de départ. En supposant que la position du marcheur soit une fonction dérivable du temps, hypothèse physiquement raisonnable, le théorème de Rolle affirme qu'il existe au moins un moment où la vitesse instantanée du marcheur est nulle.
Exemple
Exemple
Soit $f$ la fonction numérique définie par $f(x) = \sin(2x)$. Il est clair que $f$ est continue sur $\left[0; \dfrac{\pi}{2}\right]$, dérivable sur $\left]0; \dfrac{\pi}{2}\right[$ et telle que $f(0) = f\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 0$. D'après le théorème de Rolle, il existe au moins un réel $c \in \left]0; \dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que $f'(c) = 0$, c'est-à-dire que $2\cos(2c) = 0$. (Pour cet exemple, on peut prendre $c = \dfrac{\pi}{4}$).
Application
Applications
1. Vérifier que les conditions du théorème de Rolle sont vérifiées pour la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ :
\[\text{a) } f(x) = x^2 – 3x + 2 \text{ et } I = [1; 2] ; \text{b) } f(x) = \sqrt[3]{x^2 – 5x + 6} \text{ et } I = [2; 3]\]
2. Soit $g$ une fonction continue sur un segment $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$. On suppose qu'il existe un élément $x_0 \in ]a, b[$ tel que $g(b) = \dfrac{g(a) + g(x_0)}{2}$. Montrer qu'il existe un réel $c \in ]a, b[$ tel que $g'(c) = 0$.
3. Soit $P$ une fonction polynomiale admettant trois racines réelles distinctes.
Montrer que la fonction polynomiale $P'$ admet au moins deux racines réelles distinctes.
3.2. THÉORÈME DES ACCROISSEMENTS FINIS
Théorème
Théorème 2
Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a < b$, et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$. Il existe alors au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que :
\[f(b) – f(a) = (b – a)f'(c)\]
Preuve
Preuve
Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$. On considère la fonction $g$ définie sur $[a, b]$ par :
La fonction $g$ est continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$ en tant que somme de deux fonctions continues sur $[a, b]$ et dérivables sur $]a, b[$. On a $g(a) = g(b) = 0$ et, pour tout $x \in ]a, b[$, on a par ailleurs :
\[g'(x) = f'(x) – \dfrac{f(b) – f(a)}{b – a}\]
Preuve
Preuve (suite) et Interprétations
D'après le théorème de Rolle, il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que $g'(c) = 0$, ce qui entraîne que $f'(c) = \dfrac{f(b) – f(a)}{b – a}$. D'où le résultat.
Interprétation géométrique
Le théorème des accroissements finis signifie que si $f$ est une fonction continue sur le segment $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$, alors il existe (au moins) une tangente à son graphe qui soit parallèle à la corde $(AB)$, où $A(a, f(a))$ et $B(b, f(b))$.
Figure TikZ à convertir en image
Interprétation cinématique
Considèrerons une randonneuse qui marche cinq kilomètres en une heure le long d'un sentier rectiligne. En supposant que sa position soit une fonction dérivable du temps, il existe un moment où la vitesse instantanée est de $5\text{ km/h}$.
Exemple
Exemple
On considère la fonction numérique $f$ définie par : $f(x) = x^3 – 3x + 12$
La fonction $f$ est continue sur $[1; 2]$ et dérivable sur $]1; 2[$. D'après le théorème des accroissements finis, il existe au moins un réel $c \in ]1, 2[$ tel que $f(2) – f(1) = (2 – 1)f'(c)$, c'est-à-dire $f'(c) = 4$.
Pour la vérification : $f'(c) = 4 \Leftrightarrow 3c^2 – 3 = 4 \Leftrightarrow c^2 = \dfrac{7}{3} \Leftrightarrow c = \sqrt{\dfrac{7}{3}}$ (on a bien $\sqrt{\dfrac{7}{3}} \in ]1; 2[$).
Application
Applications
1. Vérifier que les conditions du théorème des accroissements finis sont vérifiées pour la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ :
\[\text{a) } f(x) = 2\sqrt{x} + \sin x \text{ et } I = [0; \pi] ; \text{b) } f(x) = \begin{cases} (1 – \sqrt{2}\cos x)^2 & \text{si } 0 \le x \le \dfrac{\pi}{4} \\ (\sqrt{2}\sin x – 1)^2 & \text{si } \dfrac{\pi}{4} < x \le \dfrac{\pi}{3} \end{cases} \text{ et } I = \left[0; \dfrac{\pi}{3}\right]\]
2. Montrer que : $\dfrac{1}{26} < \text{Arctan } 5 – \text{Arctan } 4 < \dfrac{1}{17}$
3. On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = x – \cos x$
[a)] Établir que l'équation $g(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle $\left]\dfrac{\pi}{6}; \dfrac{\pi}{4}\right[$.
[b)] Montrer qu'il existe un réel $c \in \left]\alpha; \dfrac{\pi}{2}\right[$ tel que : $f\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \left(\dfrac{\pi}{4} – \alpha\right)f'(c)$
3.3. INÉGALITÉ DES ACCROISSEMENTS FINIS
Théorème
Théorème 3
Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a < b$, et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$. On suppose qu'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $x \in ]a, b[$ : $m \le f'(x) \le M$.
Alors :
\[m(b – a) \le f(b) – f(a) \le M(b – a)\]
Preuve
Preuve
Soit $f$ une fonction continue sur le segment $[a, b]$ et dérivable sur $]a, b[$. D'après le théorème des accroissements finis, il existe au moins un réel $c \in ]a, b[$ tel que : $\dfrac{f(b) – f(a)}{b – a} = f'(c)$.
Comme $m \le f'(c) \le M$ alors $m \le \dfrac{f(b) – f(a)}{b – a} \le M$ et par suite : $m(b – a) \le f(b) – f(a) \le M(b – a)$.
Remarque
Corollaire
Soit $a$ et $b$ deux réels, avec $a < b$, et $f : [a, b] \to \mathbb{R}$ une fonction continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$. On suppose qu'il existe $k \in \mathbb{R}_+^*$ tel que pour tout $x \in ]a, b[$ : $|f'(x)| \le k$.
Alors pour tout $(x, y) \in [a, b]^2$ :
\[|f(x) – f(y)| \le k|x – y|\]
Exemple
Exemples
1) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sin x$
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}$, $f'(x) = \cos x$. D'où : $\forall x \in \mathbb{R}$, $|f'(x)| \le 1$.
D'après le corollaire 3, on a pour tout $(a, b) \in \mathbb{R}^2$ : $|\sin b – \sin a| \le |b – a|$.
En particulier, pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $|\sin x| \le |x|$ (Ici on a pris $b = x$ et $a = 0$).
2) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \text{Arctan } x$
Soit $a$ et $b$ deux réels positifs tels que $a < b$. La fonction $g$ étant continue sur $[a, b]$, dérivable sur $]a, b[$.
De plus, on a pour tout $x \in ]a, b[$, $g'(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}$. Comme $x \in ]a, b[$ alors $\dfrac{1}{1 + b^2} \le g'(x) \le \dfrac{1}{1 + a^2}$.
Il résulte de l'inégalité des accroissements finis que : $\dfrac{b – a}{1 + b^2} \le g(b) – g(a) \le \dfrac{b – a}{1 + a^2}$.
Par suite, pour tout $(a, b) \in \left(\mathbb{R}_+^*\right)^2$ tel que $a < b$ :
\[\dfrac{b – a}{1 + b^2} \le \text{Arctan } b – \text{Arctan } a \le \dfrac{b – a}{1 + a^2}\]
Application
Applications
1. Montrer que pour tous $a$ et $b$ de l'intervalle $\left[\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{\pi}{3}\right]$ : $|\tan a – \tan b| \le 4|a – b|$
2. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x \sin x$
Montrer que pour tous $x$ et $y$ de l'intervalle $[-4; 4]$ : $|f(x) – f(y)| \le 5|x – y|$
4.ÉTUDE DES FONCTIONS NUMÉRIQUES (RAPPELS)
4.1. MONOTONIE D’UNE FONCTION NUMÉRIQUE
Proposition
Proposition 10
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
La fonction $f$ est constante sur $I$ si, et seulement si : $(\forall x \in I), \; f'(x) = 0$
La fonction $f$ est croissante sur $I$ si, et seulement si : $(\forall x \in I), \; f'(x) \ge 0$
La fonction $f$ est décroissante sur $I$ si, et seulement si : $(\forall x \in I), \; f'(x) \le 0$
Remarque
Remarques
Les résultats de la proposition 10 ne sont valables que sur un intervalle.
Si $f'$ est positive sur $I$ et ne s'y annule qu'en un nombre fini de points, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $I$.
Si $f'$ est négative sur $I$ et ne s'y annule qu'en un nombre fini de points, alors la fonction $f$ est strictement décroissante sur $I$.
Exemple
Exemple
Montrons que pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ : $\text{Arctan } x + \text{Arctan }\dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}$
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}_+^*$ par : $f(x) = \text{Arctan } x + \text{Arctan }\dfrac{1}{x}$
La fonction $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}_+^*$ en tant que somme de deux fonctions dérivables sur $\mathbb{R}_+^*$ et on a pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ :
Donc $f$ est constante sur $\mathbb{R}_+^*$. Comme $f(1) = \text{Arctan } 1 + \text{Arctan } 1 = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}$ alors pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ : $f(x) = f(1) = \dfrac{\pi}{2}$. Ainsi, pour tout $x \in \mathbb{R}_+^*$ : $\text{Arctan } x + \text{Arctan }\dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}$.
4.2. AXE DE SYMÉTRIE — CENTRE DE SYMÉTRIE
Proposition
Proposition 11
Soit $f$ une fonction numérique et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
Pour que la droite $\Delta$ d'équation $x = a$ soit un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$, il faut et il suffit que pour tout $x \in D_f$ :
\[(2a – x) \in D_f \text{et} f(2a – x) = f(x)\]
Exemple
Exemple
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x + 5}$
$\mathcal{C}_f$ désigne sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Montrons que la droite $\Delta$ d'équation $x = -3$ est un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ :
Le domaine de définition de $f$ est $D_f = ]-\infty; -5] \cup [-1; +\infty[$. On a d'une part :
\[x \in D_f \Leftrightarrow (x \le -5 \text{ ou } x \ge -1) \Leftrightarrow (-6 – x \ge -1 \text{ ou } -6 – x \le -5) \Leftrightarrow (-6 – x) \in D_f\]
Par suite, la droite $\Delta$ d'équation $x = -3$ est un axe de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$.
Proposition
Proposition 12
Soit $f$ une fonction numérique et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère donné.
Pour que le point $\Omega(a, b)$ soit un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$, il faut et il suffit que pour tout $x \in D_f$ :
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \dfrac{\cos x}{2 – \sin x}$
Montrons que $\Omega\left(\dfrac{\pi}{2}, 0\right)$ est un point de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$ :
Le domaine de définition de $f$ est $D_f = \mathbb{R}$. Donc, pour tout $x \in D_f$, $(\pi – x) \in D_f$.
On a maintenant pour tout $x \in D_f$ :
Par conséquent, le point $\Omega\left(\dfrac{\pi}{2}, 0\right)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathcal{C}_f$.
Remarque
Remarques
Si $f$ est une fonction paire alors sa courbe $\mathcal{C}_f$ admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.
Si $f$ est une fonction impaire alors $\mathcal{C}_f$ admet l'origine du repère comme centre de symétrie.
Si la courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ admet la droite d'équation $x = a$ comme axe de symétrie ou admet le point de coordonnées $(a, b)$ comme centre de symétrie alors on peut restreindre l'étude de la fonction $f$ sur l'ensemble $D_{\text{étude}} = D_f \cap [a, +\infty[$.
4.3. LES FONCTIONS PÉRIODIQUES
Définition
Définition 5
Soit $f$ une fonction numérique de domaine de définition $D_f$.
On dit que $f$ est périodique s'il existe un réel non nul $T$ tel que pour tout $x \in D_f$ :
Le nombre réel $T$ est appelé alors une période de $f$. La plus petite période strictement positive de la fonction $f$ est appelée la période de la fonction $f$.
Exemple
Exemples
1) Si $\omega_0$ est un réel strictement positif alors les fonctions $t \mapsto \sin(\omega_0 t + \varphi)$ et $t \mapsto \cos(\omega_0 t + \varphi)$ sont périodiques de période $T = \dfrac{2\pi}{\omega_0}$.
2) Si $a$ est un réel non nul alors la fonction $x \mapsto \tan(ax + b)$ est périodique de période $T = \dfrac{\pi}{a}$.
3) La fonction $x \mapsto x – E(x)$ est périodique de période $T = 1$.
Proposition
Proposition 13
Soit $f$ une fonction périodique de période $T$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Pour tout $n \in \mathbb{Z}$, le nombre $nT$ est aussi une période de la fonction $f$.
La courbe de $\mathcal{C}_f$ est invariante par toute translation de vecteur $nT\vec{i}$ avec $n \in \mathbb{Z}$.
Si $x_0 \in \mathbb{R}$ est un réel donné, la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est la réunion des images de l'ensemble
par toutes les translations de vecteur $nT\vec{i}$ avec $n \in \mathbb{Z}$.
Ainsi, pour étudier une fonction périodique de période $T$, il suffit de l'étudier sur un intervalle de $\mathbb{R}$ de longueur $T$. (Très souvent, on choisit un des deux intervalles $[0, T[$ ou $\left[-\dfrac{T}{2}, \dfrac{T}{2}\right[$).
Remarque
À retenir
Figure TikZ à convertir en image
4.4. ÉTUDE DE LA CONCAVITÉ D’UNE COURBE
Définition
Définition 6
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère.
On dit que la courbe $\mathcal{C}_f$ est convexe si elle est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes, et on dit qu'elle est concave si elle est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.
On dit que le point $M_0(x_0, f(x_0))$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$ si, en $M_0$, la courbe $\mathcal{C}_f$ traverse sa tangente.
Exemple
Exemple
On considère la figure ci-contre qui présente le graphe d'une fonction $f$ sur $\mathbb{R}$.
La courbe $\mathcal{C}_f$ est convexe sur $[3; +\infty[$ et concave sur $]-\infty; 3]$.
Le point $M_0(3, 2)$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$.
La tangente $T$ traverse la courbe $\mathcal{C}_f$ en $M_0(3, 2)$.
Figure TikZ à convertir en image
Proposition
Proposition 14
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$.
Pour que la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$ soit convexe sur $I$, il faut et il suffit que : $(\forall x \in I), \; f''(x) \ge 0$
Pour que la courbe $\mathcal{C}_f$ de $f$ soit concave sur $I$, il faut et il suffit que : $(\forall x \in I), \; f''(x) \le 0$
Pour que le point $M_0(x_0, f(x_0))$ soit un point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_f$, il faut et il suffit que la dérivée seconde $f''$ s'annule en $x_0$ et change de signe de part et d'autre de $x_0$.
Application
Applications
Pour chacun des cas suivants, étudier la concavité de la courbe $\mathcal{C}_f$ et déterminer ses points d'inflexion (sous réserve d'existence) :
Si $\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty$ : La droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale de la courbe $\mathcal{C}_f$.
Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = b$ : La droite d'équation $y = b$ est une asymptote horizontale de la courbe $\mathcal{C}_f$.
Si $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$, on étudie $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ :
Si $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \pm\infty$ : La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des ordonnées.
Si $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = 0$ : La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une branche parabolique dirigée vers l'axe des abscisses.
Si $\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x} = a \; (a \in \mathbb{R}^*)$, on étudie $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) – ax)$ :
Si $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) – ax) = b$ : La droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique de la courbe $\mathcal{C}_f$.
Si $\lim_{x \to \pm\infty} (f(x) – ax) = \pm\infty$ : La courbe $\mathcal{C}_f$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = ax$.
5.LES FONCTIONS PRIMITIVES
5.1. PRIMITIVE D’UNE FONCTION SUR UN INTERVALLE
Définition
Définition 7
Soit $f$ et $F$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
On dit que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ si :
\[F \text{ est dérivable sur } I \text{ et pour tout } x \in I : F'(x) = f(x)\]
Exemple
Exemple
On considère les fonctions $f$ et $F$ définies sur l'intervalle $I = ]0; +\infty[$ par :
Toute fonction continue sur un intervalle $I$ admet une primitive définie sur cet intervalle.
5.2. PRIMITIVES D’UNE FONCTION CONTINUE
Proposition
Proposition 16
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ de $\mathbb{R}$.
Si $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $I$ alors les primitives de $f$ sur $I$ sont les fonctions $x \mapsto F(x) + c$ où $c$ est une constante réelle.
Pour tout $x_0 \in I$ et $y_0 \in \mathbb{R}$, il existe une unique primitive $G$ de $f$ sur $I$ vérifiant : $G(x_0) = y_0$.
Exemple
Exemple
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I = ]0, +\infty[$ par : $f(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} – \dfrac{1}{x^2} – \dfrac{1}{x^2 + 1}$
On a déjà vu que la fonction $F$ définie sur $I$ par : $F(x) = 2\sqrt{x} + \dfrac{1}{x} + \text{Arctan } x$ est une primitive de $f$ sur $I$.
Donc les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle $I$ sont les fonctions $x \mapsto 2\sqrt{x} + \dfrac{1}{x} + \text{Arctan } x + c$ où $c$ est une constante réelle.
Soit $G$ la primitive de la fonction $f$ sur $I$ qui s'annule en $1$. On a donc $G(x) = 2\sqrt{x} + \dfrac{1}{x} + \text{Arctan } x + c$ avec $G(1) = 0$.
On a alors : $G(1) = 0 \Leftrightarrow 2\sqrt{1} + \dfrac{1}{1} + \text{Arctan } 1 + c = 0 \Leftrightarrow 3 + \dfrac{\pi}{4} + c = 0 \Leftrightarrow c = -3 – \dfrac{\pi}{4}$.
Ainsi : $(\forall x \in ]0; +\infty[) G(x) = 2\sqrt{x} + \dfrac{1}{x} + \text{Arctan } x – 3 – \dfrac{\pi}{4}$.
5.3. OPÉRATIONS SUR LES PRIMITIVES
Proposition
Proposition 17
Si $F$ et $G$ sont respectivement des primitives des fonctions $f$ et $g$ sur un intervalle $I$ alors :
$F + G$ est une primitive de la fonction $f + g$ sur $I$.
Pour tout $(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2$, $\alpha F + \beta G$ est une primitive de $\alpha f + \beta g$ sur $I$.
Remarque
Tableau des primitives usuelles
\centering
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
La fonction $f$ & Les primitives $F$ de $f$ & L'intervalle $I$
\hline
$0$ & $c (c \in \mathbb{R})$ & $\mathbb{R}$
\hline
$x \mapsto a (a \in \mathbb{R}^*)$ & $x \mapsto ax + c$ & $\mathbb{R}$
\hline
$x \mapsto x^n (n \in \mathbb{N}^*)$ & $x \mapsto \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c$ & $\mathbb{R}$
\hline
$x \mapsto \dfrac{1}{x^n} (n \in \mathbb{N}^* – \{1\})$ & $x \mapsto \dfrac{1}{(1-n)x^{n-1}} + c$ & $\mathbb{R}_+^* \text{ ou } \mathbb{R}_-^*$
\hline
$x \mapsto x^r (r \in \mathbb{Q}^* – \{-1\})$ & $x \mapsto \dfrac{x^{r+1}}{r+1} + c$ & $\mathbb{R}_+^*$
\hline
$x \mapsto \cos x$ & $x \mapsto \sin x + c$ & $\mathbb{R}$
\hline
$x \mapsto \sin x$ & $x \mapsto -\cos x + c$ & $\mathbb{R}$
\hline
$x \mapsto 1 + \tan^2 x = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ & $x \mapsto \tan x + c$ & $\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi; \dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[ (k \in \mathbb{Z})$
\hline
$x \mapsto \sin(ax + b) (a \in \mathbb{R}^*)$ & $x \mapsto -\dfrac{1}{a} \cos(ax + b) + c$ & $\mathbb{R}$
\hline
$x \mapsto \cos(ax + b) (a \in \mathbb{R}^*)$ & $x \mapsto \dfrac{1}{a} \sin(ax + b) + c$ & $\mathbb{R}$
\hline
$x \mapsto \dfrac{1}{1 + x^2}$ & $x \mapsto \text{Arctan } x + c$ & $\mathbb{R}$
\hline
$u'v + uv'$ & $uv + c$ & Intervalle où $u$ et $v$ sont dérivables
\hline
$-\dfrac{u'}{u^2}$ & $\dfrac{1}{u} + c$ & Intervalle où $u$ est dérivable et ne s'annule pas
\hline
$u'u^r (r \in \mathbb{Q}^* – \{-1\})$ & $\dfrac{u^{r+1}}{r+1} + c$ & Intervalle où $u$ est dérivable et $u^r$ est définie
\hline
$\dfrac{u'}{1 + u^2}$ & $\text{Arctan } u + c$ & Intervalle où $u$ est dérivable
\hline
$\dfrac{u'v – uv'}{v^2}$ & $\dfrac{u}{v} + c$ & Intervalle où $u$ est dérivable et $v$ ne s'annule pas
\hline
\end{tabular}
