Fonctions logarithmiques - Maths 2 Bac Économie

Capacités

À la fin de cette première version du chapitre Fonctions logarithmiques, l'élève de 2ème Bac Sciences Économiques doit être capable de :

Manipuler ln, résoudre équations et inéquations logarithmiques et étudier une fonction qui contient un logarithme
identifier les données, les notations et les conditions propres au chapitre Fonctions logarithmiques
rédiger une solution structurée et vérifier la cohérence du résultat obtenu

Plan du cours

Situer le chapitre Fonctions logarithmiques et vérifier les prérequis.
Comprendre les définitions et les résultats indispensables.
Appliquer une méthode explicite à une situation standard.
Étudier un exemple corrigé en contrôlant chaque étape.
S'entraîner puis comparer sa démarche aux réponses courtes.

I.FONCTIONS LOGARITHMIQUES

Remarque

Cette page constitue un socle de travail consacré au chapitre Fonctions logarithmiques pour le parcours 2ème Bac Sciences Économiques. Elle présente les notions qui permettent de commencer les exercices sans remplacer le cours détaillé, les activités de classe ni la correction argumentée par un enseignant. Prérequis utiles : Exponentielle, Dérivation, Inéquations et domaine de définition. Avant de poursuivre, l'élève doit vérifier qu'il sait reconnaître les données, employer les notations du chapitre et effectuer les calculs élémentaires associés. La lecture conseillée est progressive : comprendre d'abord les objets mathématiques, repérer ensuite les conditions des propriétés, reproduire l'exemple sans regarder la solution, puis traiter les questions de vérification. Une formule ne doit jamais être appliquée sans contrôler ses hypothèses.

1.Définition et vocabulaire

Définition

Le chapitre « Fonctions logarithmiques » rassemble les objets et les méthodes nécessaires pour manipuler ln, résoudre équations et inéquations logarithmiques et étudier une fonction qui contient un logarithme. Un premier repère essentiel est le suivant : ln x est défini seulement pour x>0. Il faut connaître le sens de chaque symbole et préciser l'ensemble dans lequel on travaille. Cette précaution évite les erreurs de domaine, de signe ou d'indice et permet de rédiger une réponse compréhensible.

2.Résultats essentiels

Propriété

Les résultats suivants forment le noyau minimal à maîtriser. Pour chacun, l'élève doit identifier les conditions d'utilisation avant de commencer les calculs :

ln x est défini seulement pour x>0.
ln(ab)=ln a+ln b et ln(a/b)=ln a-ln b pour a,b>0.
ln(a^r)=r ln a lorsque a>0.
ln est strictement croissante et ln 1=0.
(ln u)'=u'/u lorsque u>0.
ln x tend vers -∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives et vers +∞ quand x tend vers +∞.

Ces résultats sont complémentaires. Selon la question, plusieurs peuvent intervenir successivement ; chaque égalité importante doit être justifiée par la définition, une propriété du cours ou un calcul vérifiable.

3.Méthode de résolution

Méthode

Pour traiter une question standard sur ce chapitre, on peut suivre la démarche suivante :

reformuler la question afin de déterminer s'il faut manipuler ln, résoudre équations et inéquations logarithmiques et étudier une fonction qui contient un logarithme
relever les données et contrôler les prérequis utiles : Exponentielle, Dérivation, Inéquations et domaine de définition
choisir la propriété adaptée, notamment parmi les repères suivants : ln x est défini seulement pour x>0. ln(ab)=ln a+ln b et ln(a/b)=ln a-ln b pour a,b>0.
effectuer le calcul étape par étape, vérifier les conditions, puis interpréter le résultat dans le contexte demandé

Après le calcul, effectuer un contrôle rapide : relire la question, vérifier les signes et les unités éventuelles, puis s'assurer que la conclusion répond exactement à ce qui était demandé. Une réponse numérique isolée ne remplace pas une justification.

4.Exemple corrigé

Exemple

Énoncé. Résoudre ln(x-1)=ln 4. Solution. Le domaine impose x>1. L'injectivité de ln donne x-1=4. Conclusion. x=5, qui respecte le domaine. Pour réutiliser cette démarche, changer les données de l'énoncé et recommencer sans recopier mécaniquement les calculs. La structure du raisonnement reste utile, mais les conditions et le résultat doivent être recalculés.

Application

Dans le parcours 2ème Bac Sciences Économiques, ce chapitre peut être mobilisé de la manière suivante : Transformer un coefficient multiplicateur en taux moyen continu grâce au logarithme. L'objectif de cette application est de relier la technique mathématique à une situation lisible, sans confondre le modèle et la réalité. Il faut annoncer les variables, expliquer les hypothèses retenues et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

II.S’ENTRAÎNER ET VÉRIFIER

Exercice

Traiter les trois questions suivantes sur une feuille. Pour chacune, écrire la propriété ou la définition utilisée, détailler le calcul principal et terminer par une conclusion :

1. Quel est ln(e³)?
2. ln(a+b) vaut-il ln a+ln b?
3. Quel domaine pour ln(2x-6)?

Avant de lire les réponses, vérifier la cohérence du résultat par une autre méthode lorsque c'est possible. En cas d'erreur, repérer précisément si elle vient de la compréhension de l'énoncé, du choix de la propriété ou du calcul.

Remarque

Réponses courtes.

1. 3.
2. Non; cette propriété concerne un produit.
3. x>3.

Ces réponses donnent le résultat attendu, mais l'élève doit conserver sa rédaction et comparer les étapes, pas seulement la dernière ligne. À retenir. L'objectif central est de manipuler ln, résoudre équations et inéquations logarithmiques et étudier une fonction qui contient un logarithme. Garder aussi ce contrôle en mémoire : ln x tend vers -∞ quand x tend vers 0 par valeurs positives et vers +∞ quand x tend vers +∞. Pour consolider le chapitre Fonctions logarithmiques, refaire l'exemple avec d'autres valeurs, expliquer oralement la méthode et noter les erreurs récurrentes. Cette page fournit une base de révision pour 2ème Bac Sciences Économiques ; elle sera enrichie par des activités, des démonstrations et des exercices corrigés plus complets dans le workflow SigmaSchool.