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Calcul intégral

Capacités
  • Calculer l'intégrale des fonctions à l'aide des techniques usuelles ;
  • Maîtriser le calcul de l'aire d'un domaine plan limité par deux courbes et deux droites parallèles à l'axe des ordonnées ;
  • Calculer le volume d'un solide de révolution engendré par la rotation de la courbe d'une fonction autour de l'axe des abscisses.

Intégrale d’une fonction continue sur un segment

L’intégrale et les primitives

Définition
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et soit $a$ et $b$ deux éléments de $I$.
Le nombre $F(b)-F(a)$, où $F$ est une primitive de $f$, est appelé l'intégrale de la fonction $f$ de $a$ à $b$,
et on le note $\int_{a}^{b} f(x)dx$. On écrit alors : $\int_{a}^{b} f(x)dx = \left[F(x)\right]_{a}^{b} = F(b)-F(a)$
Remarque
  • $\int_{a}^{b} f(x)dx$ se lit « somme de $f(x)dx$ de $a$ à $b$ » ou « intégrale de $f(x)dx$ de $a$ à $b$ »
    Les nombres $a$ et $b$ s'appellent les bornes de cette intégrale.
  • Dans l'écriture $\int_{a}^{b} f(x)dx$, la lettre $x$ peut être remplacée par une autre lettre. Ainsi, on a :
    \[\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{b} f(t)dt = \int_{a}^{b} f(u)du = \int_{a}^{b} f(\theta)d\theta = \dots\]
Exemple
Calculons les intégrales suivantes :
  • $\displaystyle \int_{e}^{e^4} \frac{\ln x}{x} dx$
  • $\displaystyle \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^t}{e^t+1} dt$
  • $\displaystyle \int_{2}^{6} \sqrt{2+x} dx$
En utilisant les primitives, on obtient les résultats suivants :
\[\begin{aligned}\int_{e}^{e^4} \frac{\ln x}{x} dx &= \left[ \frac{1}{2}\ln^2 x \right]_{e}^{e^4} = 6 \\ \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^t}{e^t+1} dt &= \left[ \ln(e^t+1) \right]_{0}^{\ln 2} = \ln 3 – \ln 2 \\ \int_{2}^{6} \sqrt{2+x} dx &= \left[ \frac{2}{3}(2+x)^{\frac{3}{2}} \right]_{2}^{6} = \frac{16}{3}(2\sqrt{2}-1)\end{aligned}\]
Exercice
  1. Déterminer la dérivée de la fonction $F : x \mapsto \ln\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)$ sur $\mathbb{R}^+$ puis calculer $\displaystyle L = \int_{0}^{\frac{3}{4}} \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} dx$.
  2. Calculer les intégrales suivantes :
    • $\displaystyle \int_{1}^{3} \left(5x^2 – 4x + \frac{2}{x} – \frac{4}{\sqrt{x}}\right) dx$
    • $\displaystyle J = \int_{e}^{e^3} \frac{\ln^3 x}{x} dx$
    • $\displaystyle K = \int_{0}^{1} x.e^{-x^2} dx$
Proposition
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$. Alors on a pour tous $a,b$ et $c$ de $I$ :
  • $\int_{a}^{a} f(x)dx = 0$ et $\int_{b}^{a} f(x)dx = -\int_{a}^{b} f(x)dx$
  • $\int_{a}^{b} f(x)dx = \int_{a}^{c} f(x)dx + \int_{c}^{b} f(x)dx$ (C'est la relation de Chasles pour les intégrales).
Exercice
  1. Calculer les intégrales suivantes :
    • $\displaystyle \int_{0}^{2} |3x – 4| dx$
    • $\displaystyle \int_{-3}^{2} |x^2 – 3x – 4| dx$
    • $\displaystyle \int_{\frac{1}{e}}^{e} \frac{|\ln x|}{x} dx$
    • $\displaystyle \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} |\sin 2x| dx$
  2. Soit $f$ la fonction numérique définie sur l'intervalle $[0;8]$ par :
    \[\begin{cases} f(x) = \sqrt{3x+1} & \text{si } 0 \le x < 1 \\ f(x) = \frac{x+1}{\sqrt[3]{x}} & \text{si } 1 \le x \le 8 \end{cases}\]
    Vérifier que la fonction $f$ est continue sur $[0;8]$ puis calculer l'intégrale : $I = \int_{0}^{8} f(x) dx$
Proposition
Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un intervalle $I$. Pour tout $(a;b) \in I^2$ et pour tout $\lambda \in \mathbb{R}$ :
\[\begin{aligned}\int_{a}^{b} (f(x) + g(x)) dx &= \int_{a}^{b} f(x) dx + \int_{a}^{b} g(x) dx \\ \int_{a}^{b} \lambda f(x) dx &= \lambda \int_{a}^{b} f(x) dx\end{aligned}\]
Remarque
On peut regrouper les deux formules de la propriété 2 dans la formule suivante : « dite de linéarité »
\[(\forall (\lambda;\mu) \in \mathbb{R}^2) \int_{a}^{b} (\lambda f(x) + \mu g(x)) dx = \lambda \int_{a}^{b} f(x) dx + \mu \int_{a}^{b} g(x) dx\]
Exercice
  1. Calculer l'intégrale $\int_{2}^{4} (5f(x)-3g(x)) dx$ sachant que :
    \[\begin{aligned}\int_{2}^{4} (f(x)+g(x)) dx &= 7 \\ \int_{2}^{4} (f(x)-g(x)) dx &= 1\end{aligned}\]
  2. Calculer l'intégrale suivante : $I = \int_{1}^{e} \ln x dx + \int_{1}^{e} \left( \frac{2\ln x}{x} + \ln \frac{1}{x} \right) dx$
  3. On pose : $\displaystyle K = \int_{0}^{\ln 2} \frac{e^t – 1}{e^t + 1} dt$ et \ $\displaystyle L = \int_{0}^{\ln 2} \frac{1}{e^t + 1} dt$. Calculer $K + L$ et $K + 2L$ puis en déduire les valeurs de $K$ et $L$.
    1. Déterminer les réels $a, b$ et $c$ tels que pour tout $x \in \left]-\infty ; \frac{1}{2}\right[ : \frac{x^2 – 1}{2x – 1} = ax + b + \frac{c}{2x – 1}$.
    2. Montrer que : $\int_{-1}^{0} \frac{x^2 – 1}{2x – 1} dx = \frac{3}{8} \ln 3$.
  5. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = (x+1)e^{2x}$. Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R} : f(x) = \frac{1}{2}f'(x) – \frac{1}{2}e^{2x}$ et en déduire le calcul de $\displaystyle \int_{0}^{1} (x+1)e^{2x} dx$.

Expression d’une primitive à l’aide d’une intégrale

Proposition
Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$ et $a$ un élément de $I$. La fonction $\varphi$ définie sur $I$ par : $\varphi(x) = \int_{a}^{x} f(t)dt$ est la primitive de $f$ sur $I$ s'annulant en $a$.
Remarque
  • La fonction $\varphi$ citée dans la proposition 1 est dérivable sur $I$ et de plus : $(\forall x \in I) \ \varphi'(x) = f(x)$. D'où, pour tout $x_0 \in I : \lim_{x \to x_0} \frac{1}{x – x_0} \int_{x_0}^{x} f(t)dt = \lim_{x \to x_0} \frac{\varphi(x) – \varphi(x_0)}{x – x_0} = \varphi'(x_0) = f(x_0)$
  • Puisque $\ln$ est la primitive de la fonction $x \mapsto \frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}_+^*$ qui s'annule en $1$, alors :
    \[(\forall x \in \mathbb{R}_+^*) \ln x = \int_{1}^{x} \frac{1}{t} dt\]

Interprétation géométrique d’une intégrale

Proposition
Soit $f$ une fonction continue et positive sur un segment
$[a;b]$ ($a <b>] (-0.5,0) — (4.5,0) node[right] {$x$}; \draw[thick,->] (0,-0.5) — (0,3.5) node[above] {$f(x)$}; \draw (0,0) node[below left] {$O$}; \draw (1,0) node[below] {$a$}; \draw (3.5,0) node[below] {$b$}; \fill[green!60!black, opacity=0.6] (1,0) — plot[domain=1:3.5] (\x,{1.5+sin(\x*50)}) — (3.5,0) — cycle; \draw[thick, red] plot[domain=0.5:4] (\x,{1.5+sin(\x*50)}) node[above] {$\mathscr{C}_f$}; \draw[thick] (1,0) — (1,{1.5+sin(50)}); \draw[thick] (3.5,0) — (3.5,{1.5+sin(175)}); \node at (2.25,1) {\Large $\mathscr{A}$}; \end{tikzpicture}
Exemple
On considère la fonction $g$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = -\frac{1}{2}x^2 – x$ Dans la figure ci-contre, $\mathscr{C}_g$ est la courbe représentative
de $g$ dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ avec : $\|\vec{i}\| = 1,5 cm$.
Puisque $g$ est positive sur le segment $[-2;0]$, alors l'aire du
domaine coloré $\Delta$ est donnée par : $\mathscr{A}(\Delta) = \int_{-2}^{0} \left(-\frac{1}{2}x^2 – x\right) dx$ \ en unités d'aire (ici $2,25 cm^2$) Or : $\int_{-2}^{0} \left(-\frac{1}{2}x^2 – x\right) dx = \left[-\frac{1}{6}x^3 – \frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^{0} = \frac{2}{3}$ Il s'ensuit donc que : $\mathscr{A}(\Delta) = \frac{2}{3} \times 2,25 cm^2 = 1,5 cm^2$.
Figure TikZ
Application
  1. Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = 6 + 5e^x – e^{2x}$ et $\mathscr{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i};\vec{j})$ avec : $\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 2cm$. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $f(x) \ge 0$ puis déterminer l'aire du domaine délimité par $\mathscr{C}_f$, les axes du repère et la droite d'équation $x = \ln\left(\frac{5}{2}\right)$.
  2. Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \cos\left(3x – \frac{\pi}{4}\right)$ et $\mathscr{C}_g$ son graphe dans un repère orthogonal $(O;\vec{i};\vec{j})$ avec : $\|\vec{i}\| = 2cm$ et $\|\vec{j}\| = 3cm$. Déterminer l'aire du domaine délimité par $\mathscr{C}_g$, l'axe des abscisses et les droites d'équations : $x = -\frac{\pi}{12}$ et $x = \frac{\pi}{6}$.

Techniques de calcul d’intégrales

Utilisation des primitives

Méthode
Pour calculer une intégrale, on envisage en premier temps d'utiliser le tableau des primitives des fonctions usuelles et leurs propriétés. Ainsi, et avant d'entamer le calcul d'une intégrale d'une fonction $f$, on doit vérifier la continuité de $f$ sur l'intervalle d'intégration puis voir si $f$ s'écrit sous la forme $u'.(v' \circ u)$. (car une primitive de $f$ serait donc $v \circ u$) ou bien voir si le problème demande de transformer l'expression de la fonction $f$ en une somme des fonctions faciles à intégrer. Maintenant que le lien entre la recherche de primitives et le calcul d'intégrales a été rappelé, nous allons donner une autre méthode permettant de simplifier le calcul d'intégrales et donc la recherche des primitives, à savoir : Intégration par parties.

Intégration par parties

Proposition
[Proposition 3] Soit $u$ et $v$ deux fonctions dérivables sur un intervalle $I$ telles que leurs dérivées $u'$ et $v'$ soient continues sur $I$. Alors pour tout $(a;b) \in I^2$ on a :
\[\int_{a}^{b} u(t)v'(t) dt = \left[u(t)v(t)\right]_{a}^{b} – \int_{a}^{b} u'(t)v(t) dt\]
Exemple
  1. Calculons l'intégrale $\displaystyle I = \int_{\ln 2}^{\ln 3} x e^{-x} dx$ par intégration par parties : Posons : $u = x \rightarrow u' = 1 \text{et} v' = e^{-x} \rightarrow v = -e^{-x}$ Il s'ensuit donc : $\displaystyle I = \left[-xe^{-x}\right]_{\ln 2}^{\ln 3} – \int_{\ln 2}^{\ln 3} -e^{-x} dx = -\frac{\ln 3}{e^{\ln 3}} + \frac{\ln 2}{e^{\ln 2}} – \left[e^{-x}\right]_{\ln 2}^{\ln 3}$ Par conséquent : $\displaystyle I = -\frac{\ln 3}{3} + \frac{\ln 2}{2} – \left(\frac{1}{e^{\ln 3}} – \frac{1}{e^{\ln 2}}\right) = -\frac{\ln 3}{3} + \frac{\ln 2}{2} – \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{3\ln 2 – 2\ln 3 + 1}{6}$
  2. Calculons l'intégrale $\displaystyle J = \int_{1}^{2} (2x+3)\ln x dx$ par intégration par parties : Posons : $u = \ln x \rightarrow u' = \frac{1}{x} \text{et} v' = 2x+3 \rightarrow v = x^2 + 3x$ Il s'ensuit donc : $\displaystyle J = \left[(x^2+3x)\ln x\right]_{1}^{2} – \int_{1}^{2} \frac{x^2+3x}{x} dx = 10\ln 2 – \int_{1}^{2} (x+3) dx \dots$
Application
  1. En appliquant la formule d'intégration par parties, calculer les intégrales suivantes :
    \[I_1 = \int_{1}^{\ln 2} xe^x dx ; I_2 = \int_{-2}^{1} x\sqrt{2-x} dx ; I_3 = \int_{1}^{4} \frac{\ln x}{\sqrt{x}} dx ; I_4 = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \frac{x}{\cos^2 x} dx\]
    \[I_5 = \int_{0}^{1} (1+e^x)\ln(x+e^x) dx ; I_6 = \int_{1}^{e} \frac{\ln t}{t^2} dt ; I_7 = \int_{0}^{\ln 3} \frac{e^{2x}}{(1+e^x)^2} dx\]
    \[I_8 = \int_{1}^{\ln 2} (x^2+1)e^{-x} dx ; I_9 = \int_{0}^{\pi} e^{-x}\sin x dx ; I_{10} = \int_{0}^{1} (2x+1).3^x dx\]
  2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$ on pose : $K_n = \int_{0}^{1} t^n e^t dt$. En utilisant la formule d'intégration par parties, montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
    \[K_{n+1} + (n+1)K_n = e\]
  3. a) Vérifier que pour tout $x \in \mathbb{R}^* – \{-1\}$ : $ \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{x} – \frac{1}{x+1}$. b) En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : $\displaystyle I = \int_{1}^{e} \frac{\ln x}{(1+x)^2} dx$.

Intégration et ordre

Positivité et croissance

Proposition
[Proposition 4] Soit $f$ et $g$ deux fonctions continues sur un segment $[a;b]$ ($a < b$).
  • Si $f$ est positive sur $[a;b]$ alors : $\int_{a}^{b} f(x) dx \ge 0$.
  • Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a;b]$, alors : $\int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} g(x) dx$.
Preuve
Soit $F$ une primitive de la fonction $f$ sur $[a;b]$. Donc : $\int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) – F(a)$. Puisque $f$ est positive sur $[a;b]$, alors la fonction $F$ est croissante sur $[a;b]$. Donc $F(b) – F(a) \ge 0$, d'où $\int_{a}^{b} f(x) dx \ge 0$. Si $f(x) \le g(x)$ pour tout $x \in [a;b]$, alors $\int_{a}^{b} (g(x) – f(x)) dx \ge 0$, et donc $\int_{a}^{b} f(x) dx \le \int_{a}^{b} g(x) dx$.
Application
  1. Montrer que : $\displaystyle 0 \le \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi} \frac{\sin t}{t} dt \le \frac{\pi}{2} – 1$ et $\displaystyle \frac{\ln 2}{2} \le \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\cos x}{x} dx \le \frac{\sqrt{3}}{2} \ln 2$
  2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $\displaystyle I_n = \int_{0}^{1} \frac{t^n}{1+t} dt$.
    1. Vérifier que pour tout $t \in [0;1]$ : $\displaystyle 0 \le \frac{t^n}{1+t} \le t^n$.
    2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\displaystyle 0 \le I_n \le \frac{1}{n+1}$ puis en déduire la limite de la suite $(I_n)$.
  3. Pour tout $n \in \mathbb{N}^*$, on pose : $\displaystyle u_n = \int_{1}^{e} (\ln x)^n dx$.
    1. Justifier que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) u_n \ge 0$.
    2. Montrer que la suite $(u_n)_{n \in \mathbb{N}^*}$ est décroissante et en déduire qu'elle est convergente.
    3. En utilisant une intégration par parties, montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) u_{n+1} = e – (n+1)u_n$.
    4. En déduire de ce qui précède que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \displaystyle 0 \le u_n \le \frac{e}{n+1}$ puis déterminer $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} u_n$.
  4. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $\displaystyle J_n = \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} x^n \cos(x) dx$.
    1. Montrer que la suite $(J_n)$ est décroissante.
    2. Montrer que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $\displaystyle 0 \le J_n \le \left(\frac{\pi}{6}\right)^n$.
    3. En déduire $\displaystyle \lim_{n \to +\infty} J_n$.

Intégrale et valeur absolue

Proposition
[Proposition 5] Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et soit $(a;b) \in I^2$ tel que $a \le b$. Alors : $\displaystyle \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right| \le \int_{a}^{b} |f(x)| dx$

Valeur moyenne d’une fonction continue sur un segment

Proposition
[Proposition 6] Soit $f$ une fonction continue sur un intervalle $I$, et soit $(a;b) \in I^2$ tel que $a \le b$.
  • S'il existe deux réels $m$ et $M$ tels que pour tout $x \in [a;b]$, $m \le f(x) \le M$, alors :
    \[m(b-a) \le \int_{a}^{b} f(x) dx \le M(b-a)\]
  • S'il existe un réel $M$ tels que pour tout $x \in [a;b]$, $|f(x)| \le M$, alors : $\displaystyle \left| \int_{a}^{b} f(x) dx \right| \le M(b-a)$
Définition
[Définition 2] Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a;b]$ ($a < b$). La valeur moyenne de la fonction $f$ sur $[a;b]$ est le nombre réel : $\displaystyle \mu = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$.
Exemple
La valeur moyenne de la fonction $x \mapsto \ln x$ sur le segment $[1;e]$ est : $\displaystyle \mu = \frac{1}{e-1} \int_{1}^{e} \ln(x) dx$. Une intégration par parties appliquée à l'intégrale $\int_{1}^{e} \ln(x) dx$ donne : $\displaystyle \int_{1}^{e} \ln(x) dx = \left[x\ln x\right]_{1}^{e} – \int_{1}^{e} dx = e – \left[x\right]_{1}^{e} = 1$. Par suite : \textcolor{red}{$\displaystyle \mu = \frac{1}{e-1}$}.
Remarque
  • Souvent en pratique, $m$ et $M$ représentent le minimum et le maximum de la fonction numérique $f$ sur le segment $[a;b]$.
  • Si on a $m \le f \le M$ sur le segment $[a;b]$, alors $m \le \mu \le M$. C'est pourquoi la proposition 6 porte le nom d'« \ inégalité de la moyenne »
  • La formule $\displaystyle \mu = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx$ est une généralisation de la formule $\displaystyle \bar{x} = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} f(x_i)$ donnant la moyenne arithmétique d'une série statistique.
Proposition
[Proposition 7] Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a;b]$ ($a < b$). Il existe au moins un réel $c \in [a;b]$ tel que : $\displaystyle \int_{a}^{b} f(x) dx = (b-a)f(c)$. Ce résultat porte le nom de « \ Théorème de la moyenne » .