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Logique mathématique

I.Connaissances fondamentales

1.Proposition – Fonction propositionnelle

Définition
Définition. On appelle proposition (ou assertion) tout énoncé mathématique qui a une seule signification juste ou fausse ; et ne peut être juste et faux en même temps.
Exemple
Exemples.
  1. Considérons les propositions suivantes :
    • $P$ : « La somme de deux entiers naturels consécutifs est un nombre impair »
    • $Q$ : « Le nombre $6$ est premier » ; $R$ : « Le nombre $\pi$ est rationnel »
    • $S$ : « Un triangle équilatéral a deux côtés isométriques »
    Les propositions $P$ et $S$ sont vraies et les propositions $Q$ et $R$ sont fausses.
  2. « $1=3+$ » n'est pas une proposition ; d'ailleurs, sur une telle entrée, l'analyseur syntaxique de tout langage informatique, voire celui de la calculatrice, retournerait alors un message de type « syntax error ».
Tableau de vérité Une proposition est une phrase mathématique $P$ qui est soit vraie (V) soit fausse (F) mais pas les deux. On consigne ces deux possibilités dans une table de vérité :
Figure TikZ
ou
Figure TikZ
Par exemple :
  • « $2\sqrt{7} < 3\sqrt{3}$ » est une proposition dont la valeur de vérité est F ;
  • « La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à $180^\circ$ » est une proposition dont la valeur de vérité est V.
  • Un théorème est une proposition dont la valeur de vérité est V.
Application
Applications.
  1. La phrase : « Les nombres positifs sont des entiers naturels » est-elle une proposition ? Justifier.
  2. Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :
    \[P : \text{« } \frac{\pi}{2} \in \mathbb{Q} \text{ »} ; Q : \text{« } \left(\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}} – \sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}\right)^2 = 1 \text{ »} ; R : \text{« } \cos\frac{\pi}{7} > 1 \text{ »}\]
    \[S : \text{« Les solutions de l'équation } 2018x^2 – 2017x – 1 = 0 \text{ sont } 1 \text{ et } -\frac{1}{2018} \text{ »} .\]
Définition
Définition. On appelle fonction propositionnelle (ou prédicat) tout énoncé mathématique contenant une variable qui appartient à un ensemble donné $E$ et qui devient une proposition à chaque fois qu'on remplace la variable par un élément déterminé de l'ensemble $E$. L'ensemble $E$ est appelé le domaine de définition de la fonction propositionnelle.
Exemple
Exemples.
  1. $Q(x) : \text{« } x \in \mathbb{Z} \ ; \ x + 3 > 0 \text{ »}$ est une fonction propositionnelle et on a $Q(0)$ est vraie et $Q(-7)$ est fausse.
  2. $P(a;b) : \text{« } (a;b) \in \mathbb{R}^2 \ ; \ a^2 + b^2 = 4 \text{ »}$ est une fonction propositionnelle et on a $P(0;1)$ est fausse et $P(0;2)$ est vraie.
  3. $A(n) : \text{« } n \in \mathbb{N} \ ; \ n^2 + n + 41 \text{ est un nombre premier »}$ est une fonction propositionnelle et on a $A(1)$ est vraie et $A(41)$ est fausse.
Application
Applications.
  1. On considère la fonction propositionnelle : $P(x;y) : \text{« } (x;y) \in \mathbb{R}^2 \ ; \ 2x – 3y = 7 \text{ »}$ Déterminer l'ensemble des valeurs de la variable $(x;y)$ pour lesquelles $P(x;y)$ soit vraie.
  2. Dans chacun des cas suivants, déterminer l'ensemble des nombres réels $S$, pour que chaque fonction propositionnelle soit une proposition vraie :
    \[\begin{aligned}A(x) &: \text{« } x \in \mathbb{R} \ ; \ 3x^2 – 2x – 65 = 0 \text{ »} & ; B(x) &: \text{« } x \in \mathbb{R} \ ; \ 5x^2 – 2\sqrt{15}x + 3 = 0 \text{ »} \\ C(x) &: \text{« } x \in \mathbb{R} \ ; \ x^3 – 6x + 7 = 0 \text{ »} & ; D(x) &: \text{« } x \in \mathbb{R} \ ; \ -x^2 + x + 6 \ge 0 \text{ »} \\ P(x) &: \text{« } x \in \mathbb{R} \ ; \ (2\sin x – 1)\cos x = 0 \text{ »} & ; Q(x) &: \text{« } x \in [-\pi;\pi] \ ; \ \sin(x)\cos(x) \ge 0 \text{ »}\end{aligned}\]

2.Quantificateurs

Définition
Définition. Soit $P(x)$ une fonction propositionnelle d'une variable $x$ d'un ensemble non vide $E$. À partir de la fonction propositionnelle « $(x \in E) ; \ P(x)$ », on définit :
  • La proposition « $(\exists x \in E) ; \ P(x)$ » qui se lit « il existe au moins $x \in E$ tel que $P(x)$ » et qui est vraie lorsqu'il existe au moins $x \in E$ vérifiant la propriété $P(x)$. Le symbole $\exists$ s'appelle le quantificateur existentiel.
  • La proposition « $(\forall x \in E) \ P(x)$ » qui se lit « pour tout $x \in E$, $P(x)$ » ou « quel que soit $x \in E$ ; $P(x)$ » et qui est vraie lorsque tous les éléments de $E$ vérifient la propriété $P(x)$. Le symbole $\forall$ s'appelle le quantificateur universel.
Exemple
Exemples.
  1. La proposition $P_1 : \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}) \ 2x + 1 = 0 \text{ »}$ est fausse. Justification : pour $x=0$, la proposition $2 \times 0 + 1 = 0$ est fausse.
  2. La proposition $P_2 : \text{« } (\exists x \in \mathbb{R}) ; \ 2x + 1 = 0 \text{ »}$ est vraie. Justification : le nombre réel $x=-\dfrac{1}{2}$ vérifie l'égalité $2x + 1 = 0$.
  3. La proposition $P_3 : \text{« } (\exists x \in \mathbb{Z}) ; \ 2x^5 – 6x + 1 = 0 \text{ »}$ est fausse. Justification : s'il existe $x_0 \in \mathbb{Z}$ vérifiant $2x_0^5 – 6x_0 + 1 = 0$, alors $2x_0^5 – 6x_0 + 1$ serait un nombre impair ce qui est impossible car 0 est un nombre pair.
  4. La proposition $P_4 : \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall y \in \mathbb{R}) \ x + y = 1 \text{ »}$ est fausse. Justification : pour $x=1$ et $y=2$, la proposition $2 + 1 = 1$ est fausse.
  5. La proposition $P_5 : \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}) \, (\exists y \in \mathbb{R}) ; x + y = 1 \text{ »}$ est vraie. Justification : Soit $x \in \mathbb{R}$ ; en considérant $y = 1 – x$ on obtient $x + (1 – x) = 1$.
  6. La proposition $P_6 : \text{« } \left(\exists(x;y) \in \mathbb{R}^2\right) ; x + y = 1 \text{ »}$ est vraie. Justification : Il suffit de prendre $x = 0$ et $y = 1$.
  7. La proposition $P_7 : \text{« } (\forall a \in \mathbb{R}^*_+) \ a + \dfrac{1}{a} \ge 2 \text{ »}$ est vraie. Justification : Soit $a \in \mathbb{R}^*_+$. Puisque $\left(\sqrt{a} – \dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^2 \ge 0$ alors $a – 2 + \dfrac{1}{a} \ge 0$, c'est-à-dire $a + \dfrac{1}{a} \ge 2$.
Remarque
Remarques.
  • Dans les apparences, « $(\forall x \in E) ; \ P(x)$ » ne dépend d'aucun $x$ ! La lettre $x$ figurant dans cette proposition a le statut de variable muette. En effet, cette proposition peut aussi être écrite : « $(\forall y \in E) \ P(y)$ », ou encore « $(\forall z \in E) ; \ P(z)$ », sans en modifier le sens. Il en est de même de la proposition « $(\exists x \in E) ; \ P(x)$ » : elle affirme qu'il existe au moins un élément $x \in E$ tel que $P(x)$ soit vraie, mais n'en définit aucun en particulier.
  • Pour le quantificateur existentiel, on rencontre dans certains énoncés « $(\exists! x \in E) ; \ P(x)$ ». L'ajout du signe ! derrière le symbole $\exists$ le transforme et l'énoncé devient : « il existe un unique élément $x \in E$ tel que $P(x)$ soit vraie »
  • Les quantificateurs doivent être placés avant l'assertion mathématique qu'ils quantifient.
  • L'emploi de quantificateurs en guise d'abréviation au milieu d'une phrase en français est exclu : ils ne doivent figurer que dans une phrase mathématique.
  • L'ordre d'écriture des quantificateurs est fondamental pour le sens d'une phrase formelle :
    • Quand deux quantificateurs existentiels se suivent, on peut les échanger sans changer le sens.
    • Quand deux quantificateurs universels se suivent, on peut les échanger sans changer le sens.
    • Quand on inverse l'ordre de deux quantificateurs différents, le sens change.
Application
Applications. Déterminer la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes :
\[\begin{aligned}Q_1 &: \text{« } (\exists x \in \mathbb{R}) ; x^2 + x + 1 = 0 \text{ »} & ; Q_2 &: \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}) \ x^2 + x + 1 > 0 \text{ »} \\ Q_3 &: \text{« } (\exists x \in \mathbb{N}) ; \sqrt{x^2 + 3} = 2x – 4 \text{ »} & ; Q_4 &: \text{« } (\exists x \in \mathbb{R}) \, (\forall y \in \mathbb{R}) \ x \le y \text{ »} \\ Q_5 &: \text{« } (\exists x \in \mathbb{R}^*) \, (\forall y \in \mathbb{Z}^*) \ x^y = 1 \text{ »} & ; Q_6 &: \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}) \, (\exists y \in \mathbb{R}) ; \ x \le y \text{ »} \\ Q_7 &: \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall y \in \mathbb{R}) \ x^2 y^2 > xy \text{ »}\end{aligned}\]

II.Opérations sur les propositions

1.Négation d’une proposition

Définition
Définition. La négation d'une proposition $P$ est la proposition notée $\overline{P}$ ou $\urcorner P$ telle que la proposition $\overline{P}$ est vraie si la proposition $P$ est fausse et la proposition $\overline{P}$ est fausse si la proposition $P$ est vraie. La négation est un connecteur logique unaire défini par la table de vérité :
Figure TikZ
Exemple
Exemples.
  1. La négation de la proposition $P : \text{« } |3 – \pi| = 3 – \pi \text{ »}$ est la proposition $\overline{P} : \text{« } |3 – \pi| \neq 3 – \pi \text{ »}$.
  2. La négation de la proposition $Q$ : « le produit de deux réels positifs est positif » est la proposition $\overline{Q}$ : « le produit de deux réels positifs est strictement négatif ».
  3. La négation de la proposition $R$ : « Toutes les boules contenues dans l'urne sont rouges » est la proposition $\overline{R}$ : « au moins une boule de l'urne n'est pas rouge ».
  4. La négation de la proposition $S$ : « Certains nombres entiers sont pairs » est la proposition $\overline{S}$ : « tous les entiers sont impairs ».
Proposition
Proposition. Soit $P(x)$ une fonction propositionnelle d'une variable $x$ d'un ensemble non vide $E$.
  • La négation de la proposition « $(\forall x \in E) \ P(x)$ » est la proposition « $(\exists x \in E) ; \ \overline{P(x)}$ ».
  • La négation de la proposition « $(\exists x \in E) ; \ P(x)$ » est la proposition « $(\forall x \in E) \ \overline{P(x)}$ ».
Remarque
Conséquence. Pour montrer que la proposition « $(\forall x \in E) \ P(x)$ » est fausse, il suffit de montrer que sa négation « $(\exists x \in E) \ \overline{P(x)}$ » est vraie. Ce type de raisonnement est appelé raisonnement par contre-exemple.
Exemple
Exemples.
  1. Montrons que la proposition $P : \text{« } \left(\forall (m;n) \in (\mathbb{N}^*)^2\right) \ \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \dots + \dfrac{1}{n+m} \in \mathbb{N} \text{ »}$ est fausse : La négation de la proposition $P$ est la proposition $\overline{P} : \text{« } \left(\exists (m;n) \in (\mathbb{N}^*)^2\right) ; \ \dfrac{1}{n} + \dfrac{1}{n+1} + \dots + \dfrac{1}{n+m} \notin \mathbb{N} \text{ »}$ En prenant $n=1$ et $m=2$ on obtient $\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1+1} + \dfrac{1}{1+2} = \dfrac{11}{6}$ ; donc $\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{1+1} + \dfrac{1}{1+2} \notin \mathbb{N}$. Il s'ensuit que la proposition $\overline{P}$ est vraie. Par suite, la proposition $P$ est fausse.
  2. Montrons que la proposition $Q : \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall y \in \mathbb{R}) \ x^2 + y^2 \ge x + y \text{ »}$ est fausse : La négation de la proposition $Q$ est la proposition $\overline{Q} : \text{« } (\exists x \in \mathbb{R}) \, (\exists y \in \mathbb{R}) ; \ x^2 + y^2 < x + y \text{ »}$. En prenant $x=1$ et $y=\dfrac{1}{2}$ on obtient $1^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{5}{4}$ et $1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2}$. Puisque $\dfrac{5}{4} < \dfrac{6}{4}$, c'est-à-dire $\dfrac{5}{4} < \dfrac{3}{2}$. Par conséquent, la proposition $\overline{Q}$ est vraie et donc $Q$ est fausse.
Application
Applications. En utilisant un raisonnement par contre-exemple, montrer que les propositions suivantes sont fausses :
\[\begin{aligned}P_1 &: \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}^+) \ x + \sqrt{x} \ge 2 \text{ »} & ; P_2 &: \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}) \, (\forall y \in \mathbb{R}) \ 2x – 4y \neq 5 \text{ »} \\ P_3 &: \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}^*) \ x + \dfrac{1}{x} \ge 2 \text{ »} & ; P_4 &: \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}^+) \, (\forall y \in \mathbb{R}^+) \ x + y \ge \sqrt{x} + \sqrt{y} \text{ »} \\ P_5 &: \text{« } (\forall x \in ]0;1[) \ \dfrac{2x}{x^2(1-x^2)} < 1 \text{ »} & ; P_6 &: \text{« } (\forall \alpha \in ]0;1[) \, (\forall \beta \in ]0;1[) \ \dfrac{1}{\alpha} + \dfrac{1}{\beta} < 1 – \alpha\beta \text{ »}\end{aligned}\]

2.Disjonction de deux propositions

Définition
Définition. La disjonction de deux propositions $P$ et $Q$ est la proposition qu'on note $(P \text{ ou } Q)$. Elle est fausse seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux fausses. La disjonction est un connecteur logique binaire défini par la table de vérité :
Figure TikZ
Exemple
Exemples.
  1. La proposition « $\sqrt{3} = \sqrt{\sqrt{9}} \text{ ou } \sqrt{3} \in \mathbb{Q}$ » est vraie.
  2. La proposition « $5 < 6 \text{ ou } 5 = 6$ » est vraie.
  3. La proposition « $\sqrt{\pi + 2} = \sqrt{\pi} + \sqrt{2} \text{ ou } \left(\sqrt{2} + 1\right)^2 = 3$ » est fausse.
  4. La proposition « $1$ est un nombre premier ou $7 \text{ divise } 32$ » est fausse.
  5. Soit $ABCD$ un parallélogramme. On considère les trois propositions suivantes :
    \[P : \text{« } ABCD \text{ est un losange »} ; Q : \text{« } AB = AD \text{ »} ; R : \text{« } (AC) \perp (BD) \text{ »}\]
    • Si la proposition $(P \text{ ou } Q)$ est vraie, alors la proposition $R$ est vraie.
    • Si la proposition $(R \text{ ou } Q)$ est vraie, alors la proposition $P$ est vraie.
    • Si la proposition $(R \text{ ou } Q)$ est fausse, alors la proposition $P$ est fausse.
Remarque
Remarques.
  • Les propositions $(P \text{ ou } Q)$ et $(Q \text{ ou } P)$ ont le même sens. On dit que la disjonction est une opération commutative.
  • Les propositions $\big[ (P \text{ ou } Q) \text{ ou } R \big]$ et $\big[ P \text{ ou } (Q \text{ ou } R) \big]$ ont le même sens. On dit que la disjonction est une opération associative.
Application
Applications.
  1. Soit $P$ une proposition. Montrer que la proposition $\overline{(\overline{P} \text{ ou } P)}$ est fausse.
  2. Soit $a$ et $b$ deux réels de l'intervalle $]4 ; +\infty[$ et on considère les deux équations :
    \[(E) : x^2 + ax + b = 0 \text{et} (F) : x^2 + bx + a = 0\]
    Soit $\Delta_1$ le discriminant de $(E)$ et $\Delta_2$ celui de $(F)$ et les propositions : $P_1 : \text{« } \Delta_1 \ge 0 \text{ »} \text{et} P_2 : \text{« } \Delta_2 \ge 0 \text{ »}$. Montrer que la proposition $(P_1 \text{ ou } P_2)$ est vraie.

3.Conjonction de deux propositions

Définition
Définition. La conjonction de two propositions $P$ et $Q$ est la proposition qu'on note $(P \text{ et } Q)$. Elle est vraie seulement si $P$ et $Q$ sont toutes les deux vraies.
La conjonction est un connecteur logique binaire défini par la table de vérité :
Figure TikZ
Exemple
Exemples.
  1. La proposition « $\sqrt{3} = \sqrt{\sqrt{9}} \text{ et } \sqrt{3} \in \mathbb{Q}$ » est fausse.
  2. La proposition « $\sqrt{3} < 2 \text{ et } \pi \in \mathbb{R}$ » est vraie.
  3. La proposition « $49$ est premier et $46$ est divisible par $7$ » est fausse.
  4. Soit $(D)$, $(D')$ et $(\Delta)$ trois droites du plan. On considère les trois propositions suivantes :
    \[P : \text{« les droites } (D) \text{ et } (D') \text{ sont sécantes »} ; Q : \text{« les droites } (D) \text{ et } (\Delta) \text{ sont parallèles »}\]
    \[R : \text{« les droites } (D') \text{ et } (\Delta) \text{ sont sécantes »}\]
    • Si la proposition $(P \text{ et } Q)$ est vraie, alors la proposition $R$ est vraie.
    • Si la proposition $(R \text{ et } Q)$ est vraie, alors la proposition $P$ est vraie.
    • Si la proposition $(\overline{P} \text{ et } Q)$ est vraie, alors la proposition $\overline{R}$ est vraie.
Remarque
Remarques.
  • Les propositions $(P \text{ et } Q)$ et $(Q \text{ et } P)$ ont le même sens. On dit que la conjonction est une opération commutative.
  • Les propositions $\big[ (P \text{ et } Q) \text{ et } R \big]$ et $\big[ P \text{ et } (Q \text{ et } R) \big]$ ont le même sens. On dit que la conjonction est une opération associative.
  • Les propositions $\big[ P \text{ et } (Q \text{ ou } R) \big]$ et $\big[ (P \text{ et } Q) \text{ ou } (P \text{ et } R) \big]$ ont le même sens. On dit que la conjonction est distributive par rapport à la disjonction.
  • Les propositions $\big[ P \text{ ou } (Q \text{ et } R) \big]$ et $\big[ (P \text{ ou } Q) \text{ et } (P \text{ ou } R) \big]$ ont le même sens. On dit que la disjonction est distributive par rapport à la conjonction.
(Pour démontrer ces résultats, il suffit d'utiliser les tables de vérité).
Application
Applications.
  1. Soit $P$ une proposition. Montrer que la proposition $\overline{(\overline{P} \text{ et } P)}$ est vraie.
  2. Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que : $( y = 3x – 1 \text{ et } x^2 – x = 0 )$.
  3. En utilisant la distributivité de la conjonction logique par rapport à la disjonction logique ; résoudre dans $\mathbb{R}^2$, les système suivants :
    \[(S_1) : \begin{cases} x^2 – y^2 = 0 \\ 2x^2 + y^2 = 3 \end{cases} ; (S_2) : \begin{cases} xy – x + y = 1 \\ 2x^2 – xy – y = 0 \end{cases} ; (S_3) : \begin{cases} 4x^2 – y^2 = 0 \\ (x-2)(y-6) = 0 \end{cases}\]
  4. Soit $x$ et $y$ deux réels tels que : $x \ge 1 \text{ et } y \ge 1$. Montrer que : $\sqrt{x-1} + \sqrt{y-1} \le xy$.
  5. Déterminer le domaine de définition de la fonction $f$ définie par : $f(x) = \sqrt{x^2 – 1} + \dfrac{x}{2x – 3}$

4.Implication de deux propositions

Définition
Définition. L'implication d'une proposition $P$ à une proposition $Q$ est la proposition qu'on note $(P \Rightarrow Q)$. Elle est fausse seulement si $P$ est vraie et $Q$ est fausse.
Les deux propositions $(P \Rightarrow Q)$ et $(\overline{P} \text{ ou } Q)$ ont la même valeur de vérité.
L'implication est un connecteur logique binaire défini par la table de vérité :
Figure TikZ
Exemple
Exemples.
  1. La proposition « $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \Rightarrow \sqrt{2} > 0$ » est vraie.
  2. La proposition « $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \Rightarrow \sqrt{2} = 1,41$ » est fausse.
  3. La proposition « $\sqrt{3} + \sqrt{2} < \sqrt{5} \Rightarrow \left(\sqrt{3} + \sqrt{2}\right)^2 = 5$ » est vraie.
  4. Soit $ABCD$ un quadrilatère et $I$ le milieu du segment $[AC]$. On considère les propositions :
    \[U : \text{« } ABCD \text{ est un parallélogramme »} ; P : \text{« } ABCD \text{ est un losange »}\]
    \[Q : \text{« } AB = AD \text{ »} ; R : \text{« } (AC) \perp (BD) \text{ »} ; S : \text{« } \overrightarrow{BI} + \overrightarrow{DI} = \overrightarrow{0} \text{ »}\]
    • La proposition $(U \text{ et } Q) \Rightarrow P$ est vraie.
    • La proposition $(U \text{ et } R) \Rightarrow P$ est vraie.
    • La proposition $U \Rightarrow S$ est vraie.
    • La proposition $P \Rightarrow (\overline{Q} \text{ ou } \overline{R})$ est fausse.
Application
Applications.
  1. Déterminer la valeur de vérité des propositions suivantes :
    \[P_1 : \text{« } (13 \text{ est premier}) \Rightarrow (56 \text{ est divisible par } 13) \text{ »} ; P_2 : \text{« } (47 \text{ est premier}) \Rightarrow (47 \text{ est impair}) \text{ »} .\]
  2. Soit $x$ et $y$ deux réels non nuls. On considère les deux propositions :
    \[P : \text{« } 2x + 4y = 1 \text{ »} \text{et} Q : \text{« } \frac{1}{x^2 + y^2} \le 20 \text{ »}\]
    Montrer que $P \Rightarrow Q$.
Remarque
Remarques.
  • En pratique, on écrit souvent $P \Rightarrow Q$ pour dire que $P \Rightarrow Q$ est vraie.
  • On s'intéresse souvent à des implications en mathématiques. La plupart des théorèmes sont de la forme $P \Rightarrow Q$ : si on a certaines hypothèses (représentées par l'assertion $P$), alors on a une conclusion (représentée par l'assertion $Q$). Il faut être très vigilant à ne pas confondre cette implication avec sa réciproque $Q \Rightarrow P$ qui n'a aucune raison d'être vraie ! Dans un calcul en particulier, on ne peut pas toujours remonter une suite d'implications.
Exemple
Exemple. Trouver l'erreur dans le raisonnement suivant : On considère l'équation $x^2 + x + 1 = 0$ d'inconnue $x \in \mathbb{R}$. Si $x$ est solution, on a $x^3 + x^2 + x = 0$ puis $x^3 = -x^2 – x = 1$ (puisque $x^2 + x + 1 = 0$). Ainsi, $x = 1$ (puisque c'est la seule solution réelle de $x^3 = 1$). Correction : L'erreur commise est de croire que l'on peut remonter les calculs faits. Le raisonnement effectué montre que si $x$ est un réel solution de $x^2 + x + 1 = 0$, alors il est égal à 1. La réciproque est en revanche fausse : $x = 1$ n'est pas solution de l'équation $x^2 + x + 1 = 0$ (qui n'admet aucune solution réelle). \large ! Il faudra toujours prendre garde, lorsqu'on résout une équation sans faire un raisonnement par équivalence (paragraphe suivant), de vérifier que les solutions obtenues sont effectivement des solutions !

5.Condition suffisante – condition nécessaire

Exemple
Exemple. On sait que l'implication suivante est vraie :
\[(ABC \text{ est un triangle équilatéral}) \Rightarrow (ABC \text{ est un triangle isocèle})\]
  • La condition « $ABC$ est un triangle équilatéral » est suffisante pour que le triangle $ABC$ soit isocèle.
  • La condition « $ABC$ est un triangle isocèle » est nécessaire pour que le triangle $ABC$ soit équilatéral.
Proposition
Proposition. Les deux propositions suivantes sont vraies :
\[\big[ (\forall x \in E) \ ; \ A(x) \Rightarrow B(x) \big] \Rightarrow \big[ \left((\forall x \in E) \ ; \ A(x)\right) \Rightarrow \left((\forall x \in E) \ ; \ B(x)\right) \big]\]
\[\big[ (\exists x \in E) \, (\forall y \in F) \ A(x;y) \big] \Rightarrow \big[ (\forall y \in F) \, (\exists x \in E) \ A(x;y) \big]\]

6.Équivalence de deux propositions

Définition
Définition. L'équivalence de deux propositions $P$ et $Q$ est la proposition qu'on note $(P \Leftrightarrow Q)$. Elle est vraie seulement si $P$ et $Q$ ont la même valeur de vérité ; c'est-à-dire toutes les deux sont simultanément vraies ou simultanément fausses.
Les deux propositions $(P \Leftrightarrow Q)$ et $\big[ (P \Rightarrow Q) \text{ et } (Q \Rightarrow P) \big]$ ont la même valeur de vérité.
L'équivalence est un connecteur logique binaire défini par la table de vérité :
Figure TikZ
Exemple
Exemples.
  1. La proposition « $|1 – \pi| = \pi – 1 \Leftrightarrow \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{2}{2}$ » est fausse.
  2. La proposition « $1 + \left(\sqrt{3}\right)^2 = 4 \Leftrightarrow 12 = 3^2 \times 2^2$ » est fausse.
  3. La proposition « $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q} \Leftrightarrow \dfrac{1}{2} \in \mathbb{Q}$ » est vraie.
  4. Soit $(a;b) \in \mathbb{R}^2$. La proposition « $ab = 0 \Leftrightarrow (a = 0 \text{ ou } b = 0)$ » est vraie.
  5. La proposition « $(ABC \text{ est rectangle en } A) \Leftrightarrow BC^2 = AB^2 + AC^2$ » est vraie.
  6. Quelle que soit l'assertion $P$, l'équivalence « $P \Leftrightarrow \overline{P}$ » est toujours fausse.
  7. Soit $ABCD$ un quadrilatère et $I$ le milieu du segment $[AC]$. On considère les propositions :
    \[U : \text{« } ABCD \text{ est un parallélogramme »} ; P : \text{« } ABCD \text{ est un losange »}\]
    \[Q : \text{« } AB = AD \text{ »} ; R : \text{« } (AC) \perp (BD) \text{ »}\]
    • La proposition $(U \text{ et } Q) \Leftrightarrow P$ est vraie.
    • La proposition $(U \text{ et } R) \Leftrightarrow P$ est vraie.
  8. Soit $(a;b) \in \mathbb{R}^2$. La proposition « $a^2 + b^2 = 0 \Leftrightarrow (a = b = 0)$ » est vraie.
  9. Soit $n \in \mathbb{N}$. La proposition « $(n \text{ pair}) \Leftrightarrow (n^2 \text{ pair})$ » est vraie.
  10. La proposition « ($1$ est un nombre premier) $\Leftrightarrow \pi \in \mathbb{R}$ » est fausse.
Remarque
Remarques.
  • La notation « $P \Leftrightarrow Q$ » se lit « $P$ est équivalent à $Q$ » ou « $P$ équivaut à $Q$ » et correspond en français à la phrase « $P$ si et seulement si $Q$ ».
  • Les propositions $(P \Leftrightarrow Q)$ et $(Q \Leftrightarrow P)$ ont la même table de vérité. On dit que l'équivalence est une opération commutative.
  • On s'intéresse plus souvent aux équivalences vraies qu'aux fausses. En pratique, on écrira « $P \Leftrightarrow Q$ » uniquement lorsqu'il s'agit d'une assertion vraie. Autrement dit, si l'on écrit « $P \Leftrightarrow Q$ » cela sous-entend « $P \Leftrightarrow Q$ est vraie ».
  • Les expressions « condition nécessaire et suffisante », « si et seulement si », « il faut et il suffit » signifient toutes « équivalent » ou encore « $\Leftrightarrow$ ».
  • En pratique, dans une rédaction, on n'emploiera jamais les symboles $\Leftrightarrow$ et $\Rightarrow$. Le seul endroit où le symbole $\Leftrightarrow$ est toléré, c'est dans les résolutions d'équations ou d'inéquations. On préférera l'emploi de mots de français : conjonctions de coordination (mais, ou, et, donc, or, car), conjonctions de subordination (parce que, si, puisque, …) ou adverbes (ainsi, cependant, …).
Proposition
Proposition. Soit $P$, $Q$ et $R$ trois propositions. Alors :
\[\big[ (P \Leftrightarrow Q) \text{ et } (Q \Leftrightarrow R) \big] \Rightarrow (P \Leftrightarrow R)\]
On dit que l'équivalence est une relation transitive.
Exemple
Exemples.
  1. Montrons que pour tout $(x;y) \in \mathbb{R}^2$ : $ \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} = 2 \Leftrightarrow x = y = 0$
    Soit $(x;y) \in \mathbb{R}^2$. Puisque $\sqrt{x^2 + 1} \ge 1$ et $\sqrt{y^2 + 1} \ge 1$ alors $\sqrt{x^2 + 1} – 1 \ge 0$ et $\sqrt{y^2 + 1} – 1 \ge 0$ ;
    Il s'ensuit donc :
    \[\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} = 2 \Leftrightarrow \left(\sqrt{x^2 + 1} – 1\right) + \left(\sqrt{y^2 + 1} – 1\right) = 0 \Leftrightarrow \begin{cases} \sqrt{x^2 + 1} – 1 = 0 \\ \sqrt{y^2 + 1} – 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x^2 = 0 \\ y^2 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow x = y = 0\]
  2. Soit $x$ et $y$ deux réels strictement positifs. Montrons que : $x < y \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} < \dfrac{2x + 5y}{5x + 2y} < \dfrac{y}{x}$
    On a pour tous $x$ et $y$ de $]0 ; +\infty[$ :
    \[\begin{aligned}\frac{x}{y} < \frac{2x + 5y}{5x + 2y} < \frac{y}{x} &\Leftrightarrow x^2 < \frac{xy(2x + 5y)}{5x + 2y} < y^2 \\ &\Leftrightarrow \left(5x^3 + 2x^2y < 2x^2y + 5xy^2 \text{et} 2x^2y + 5xy^2 < 5xy^2 + 2y^3\right) \\ &\Leftrightarrow \left(x^2 < y^2 \text{ et } 2x^2y 0 \text{ et } y > 0) \\ &\Leftrightarrow \left(x^2 < y^2 \text{ et } x^2 < y^2\right) \\ &\Leftrightarrow \sqrt{x^2} < \sqrt{y^2} \\ &\Leftrightarrow x 0 \text{ et } y > 0)\end{aligned}\]
    Par suite : $ x < y \Leftrightarrow \dfrac{x}{y} < \dfrac{2x + 5y}{5x + 2y} < \dfrac{y}{x}$
  3. Soit $x$ et $y$ deux réels. Montrons que : $|x – y| \le 2\sqrt{x^2 + y^2 + xy}$
    On a pour tout $(x;y) \in \mathbb{R}^2$ :
    \[\begin{aligned}|x – y| \le 2\sqrt{x^2 + y^2 + xy} &\Leftrightarrow |x – y|^2 \le 4\left(x^2 + y^2 + xy\right) \\ &\Leftrightarrow x^2 – 2xy + y^2 \le 4x^2 + 4y^2 + 4xy \\ &\Leftrightarrow 0 \le 3x^2 + 6xy + 3y^2 \\ &\Leftrightarrow 0 \le 3(x + y)^2\end{aligned}\]
    Puisque « $0 \le 3(x + y)^2$ est vraie », alors pour tout $(x;y) \in \mathbb{R}^2 : |x – y| \le 2\sqrt{x^2 + y^2 + xy}$ .
Application
Applications.
  1. Soit $a$ et $b$ deux réels positifs.
    1. [a)] Montrer que : $ \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + 1}} < \dfrac{b}{\sqrt{b^2 + 1}} \Leftrightarrow a < b$ .
    2. [b)] Montrer que : $ a\sqrt{1 + a^2} = b\sqrt{1 + b^2} \Leftrightarrow a = b$ .
  2. Soit $(x;y) \in \mathbb{R}^2$ tel que $x \ge 1 \text{ et } y \ge 4$. Montrer que : $ \sqrt{x – 1} + 2\sqrt{y – 4} = \dfrac{x + y}{2} \Leftrightarrow (x = 2 \text{ et } y = 8)$ .
  3. Soit $(x;y) \in \mathbb{R}^2$. Établir les équivalences suivantes :
    \[|x + y| \le \sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{y^2 + 1} \Leftrightarrow \left|\sqrt{1 + x^2} – \sqrt{1 + y^2}\right| \le |x – y|\]
    \[(x + y)(x – y)^2 4\left(x^3 + y^3\right)\]
  4. Soit $x$, $y$ et $z$ trois réels strictement positifs. Établir les équivalences suivantes :
    \[xy\sqrt{z} < xz\sqrt{y} < yz\sqrt{x} \Leftrightarrow x < y < z ; |x – y| < z < x + y \Leftrightarrow \left| \frac{x^2 + y^2 – z^2}{xy} \right| < 2\]
Proposition
Proposition. Les deux propositions suivantes sont vraies :
\[\big[ (\forall x \in E) \ A(x) \text{ et } B(x) \big] \Leftrightarrow \big[ \left((\forall x \in E) \ A(x)\right) \text{ et } \left((\forall x \in E) \ B(x)\right) \big]\]
\[\big[ (\exists x \in E) \ A(x) \text{ ou } B(x) \big] \Leftrightarrow \big[ \left((\exists x \in E) \ A(x)\right) \text{ ou } \left((\exists x \in E) \ B(x)\right) \big]\]
Remarque
Remarques.
  • La proposition : $ \big[ (\exists x \in E) \ A(x) \text{ et } B(x) \big] \Leftrightarrow \big[ \left((\exists x \in E) \ A(x)\right) \text{ et } \left((\exists x \in E) \ B(x)\right) \big] $
    n'est pas toujours vraie comme le montre l'exemple suivant :
    Considérons les deux propositions suivantes :
    \[P : \text{« } \big( (\exists x \in \mathbb{R}) \ ; \ \cos x = 0 \big) \text{ et } \big( (\exists x \in \mathbb{R}) \ ; \ \sin x = 0 \big) \text{ »} \text{et} Q : \text{« } \big( (\exists x \in \mathbb{R}) \ ; \ \cos x = 0 \text{ et } \sin x = 0 \big) \text{ »}\]
    La proposition $P$ est vraie car $0$ est un réel $x$ tel que $\sin x = 0$ et $\dfrac{\pi}{2}$ est un réel $x$ tel que $\cos x = 0$.
    Ainsi, dans les deux affirmations $\big( (\exists x \in \mathbb{R}) \ ; \ \cos x = 0 \big)$ et $\big( (\exists x \in \mathbb{R}) \ ; \ \sin x = 0 \big)$, la lettre $x$ utilisée deux fois ne désigne pas forcément un même nombre. La proposition $Q$ est évidement fausse car pour tout $x \in \mathbb{R}$, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \neq 0$.
  • En pratique, pour montrer que $P \Leftrightarrow Q$, on peut utiliser un des raisonnements suivants :
    • [\tiny $\blacksquare$] Raisonnement par double implication :
      Pour ce type de raisonnement, on suppose que la proposition $P$ est vraie et on montre que $Q$ est vraie et réciproquement. La démonstration se fait donc en deux étapes: une première débutant par « Supposons $P$ et montrons $Q$ » et une seconde débutant par « Supposons $Q$ et montrons $P$ ». On passe ensuite de $P$ à $Q$ et de $Q$ à $P$ en utilisant à chaque fois des implications.
    • [\tiny $\blacksquare$] Raisonnement par équivalences successives :
      Pour ce type de raisonnement, on procède en une seule étape. On passe alors de $P$ à $Q$ (ou bien de $Q$ à $P$) en utilisant à chaque fois des équivalences. Cette méthode est plus courte que la précédente (une seule étape au lieu de deux) mais peut être plus fastidieuse puisqu'on doit vérifier que chaque enchaînement logique de la démonstration est bien une équivalence et pas seulement une implication.
      Le raisonnement par équivalences successives est généralement réservé à la résolution d'équations et d'inéquations. On lui préférera en général le raisonnement par double implication.
Exemple
Exemple. Soit $a$ et $b$ deux réels non nuls. Montrons que : $a + b = 0 \Leftrightarrow \left(a^2 = b^2 \text{ et } ab < 0\right)$
On va montrer les implications : $\big[ a + b = 0 \Rightarrow \left(a^2 = b^2 \text{ et } ab < 0\right) \big]$ et $\big[ \left(a^2 = b^2 \text{ et } ab < 0\right) \Rightarrow a + b = 0 \big]$.
  • Supposons que $a + b = 0$, alors $a = -b$ et donc $ab < 0$ et $a^2 = b^2$.
  • Réciproquement, si $a^2 = b^2$ alors $a = b$ ou $a = -b$ ; et comme $ab < 0$ alors nécessairement $a = -b$, ce qui entraîne que $a + b = 0$.
Par suite : $ a + b = 0 \Leftrightarrow \left(a^2 = b^2 \text{ et } ab < 0\right)$

II.Lois logiques et raisonnements

1.Loi logique ou tautologie

Définition
Définition. Soit $Q_1, Q_2, …, Q_n$ des propositions.
On appelle loi logique ou tautologie toute proposition $P$ résultante de l'assemblage par des connecteurs logiques de propositions prises parmi $Q_1, Q_2, …, Q_n$ qui est vraie quelle que soit la valeur de vérité des propositions en jeu.
Exemple
Exemples. Les propositions suivantes sont des lois logiques : (à vérifier à l'aide de table de vérité)
  • 1) $(P \text{ et } Q) \Leftrightarrow (Q \text{ et } P)$ 2) $(P \text{ ou } Q) \Leftrightarrow (Q \text{ ou } P)$
  • 3) $\big( P \text{ et } (Q \text{ et } R) \big) \Leftrightarrow \big( (P \text{ et } Q) \text{ et } R \big)$ 4) $\big( P \text{ ou } (Q \text{ ou } R) \big) \Leftrightarrow \big( (P \text{ ou } Q) \text{ ou } R \big)$
  • 5) $(P \Leftrightarrow Q) \Leftrightarrow \big[ (P \Rightarrow Q) \text{ et } (Q \Rightarrow P) \big]$ 6) $(P \text{ et } Q) \Rightarrow P$
  • 7) $\big[ P \text{ ou } (Q \text{ et } R) \big] \Leftrightarrow \big[ (P \text{ ou } Q) \text{ et } (P \text{ ou } R) \big]$ 8) $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow (\overline{P} \text{ ou } Q)$
  • 9) $\big[ P \text{ et } (Q \text{ ou } R) \big] \Leftrightarrow \big[ (P \text{ et } Q) \text{ ou } (P \text{ et } R) \big]$ 10) $\big( P \Rightarrow (Q \text{ ou } R) \big) \Leftrightarrow \big[ (P \text{ et } \overline{Q}) \Rightarrow R \big]$
Application
Applications. Soit $P$ et $Q$ deux propositions.
Montrer que les propositions suivantes sont des lois logiques :
\[P \Rightarrow (Q \Rightarrow P) ; P \Rightarrow (\overline{P} \Rightarrow Q) ; (\overline{Q} \text{ ou } P) \text{ ou } (Q \text{ ou } \overline{P}) ; (P \Leftrightarrow Q) \Leftrightarrow \big[ (P \text{ et } Q) \text{ ou } (\overline{P} \text{ et } \overline{Q}) \big]\]

2.Lois de Morgan

Proposition
Proposition. Soit $P$ et $Q$ deux propositions. Les deux propositions suivantes sont des lois logiques :
\[\overline{(P \text{ et } Q)} \Leftrightarrow \left(\overline{P} \text{ ou } \overline{Q}\right) ; \overline{(P \text{ ou } Q)} \Leftrightarrow \left(\overline{P} \text{ et } \overline{Q}\right)\]
Exemple
Exemples.
  1. Déterminons la négation de la proposition $(P \Rightarrow Q)$ :
    On a : $\overline{(P \Rightarrow Q)} \Leftrightarrow \overline{(\overline{P} \text{ ou } Q)} \Leftrightarrow \left(\overline{\overline{P}} \text{ et } \overline{Q}\right) \Leftrightarrow (P \text{ et } \overline{Q})$ .
    Par conséquent, la négation de la proposition $(P \Rightarrow Q)$ est la proposition : $(P \text{ et } \overline{Q})$ .
  2. Déterminons la négation de la proposition $(P \text{ et } \overline{Q})$ :
    On a : $\overline{(P \text{ et } \overline{Q})} \Leftrightarrow \left(\overline{P} \text{ ou } \overline{\overline{Q}}\right) \Leftrightarrow \left(\overline{P} \text{ ou } Q\right)$ .
    Par conséquent, la négation de la proposition $(P \text{ et } \overline{Q})$ est la proposition : $(\overline{P} \text{ ou } Q)$ .
Application
Applications. Déterminer la négation des propositions suivantes :
\[P : \text{« } (\exists x \in \mathbb{R}) \ ; \ 0 \le x < 1 \text{ »} ; Q : \text{« } (\forall x \in \mathbb{R}) \ \left(x^2 = 1 \Rightarrow x = 1\right) \text{ »}\]
\[R : \text{« } (\forall a \in \mathbb{R}) \ \left(|a + 1| \le 2 \Rightarrow a \ge -3\right) \text{ »} ; S : \text{« } (\forall x \in \mathbb{R})(\forall y \in \mathbb{R}^+) \ \left(x^2 \le y^2 \Leftrightarrow -y \le x \le y\right) \text{ »}\]

3.Raisonnement par contraposée

Proposition
Proposition. Soit $P$ et $Q$ deux propositions.
L'implication $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$ s'appelle la contraposée (ou l'implication contraposée) de l'implication $P \Rightarrow Q$.
La contraposée d'une implication est équivalente à celle-ci : $(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow \left(\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}\right)$
Exemple
Exemples.
  1. Soit $a$ et $b$ deux réels non opposés. Montrons que : $a \neq -\dfrac{1}{2}b \Rightarrow \dfrac{a – b}{a + b} \neq -3$
    Il suffit d'utiliser le raisonnement par contraposée en montrant que : $\dfrac{a – b}{a + b} = -3 \Rightarrow a = -\dfrac{1}{2}b$ .
    On a : $\dfrac{a – b}{a + b} = -3 \Rightarrow a – b = -3(a + b) \Rightarrow a – b = -3a – 3b \Rightarrow a + 3a = b – 3b \Rightarrow 4a = -2b$
    Par conséquent : $\dfrac{a – b}{a + b} = -3 \Rightarrow a = -\dfrac{1}{2}b$ . Ainsi : $a \neq -\dfrac{1}{2}b \Rightarrow \dfrac{a – b}{a + b} \neq -3$
  2. Montrons que : $\left(\forall x \in [1; +\infty[\right) \left(\forall y \in [2; +\infty[\right) \ \left[ (x \neq 5 \text{ ou } y \neq 3) \Rightarrow x + y – 4\sqrt{x – 1} – 2\sqrt{y – 2} + 2 \neq 0 \right]$
    Soit $x \in [1; +\infty[$ et $y \in [2; +\infty[$. Montrons que : $x + y – 4\sqrt{x – 1} – 2\sqrt{y – 2} + 2 = 0 \Rightarrow (x = 5 \text{ et } y = 3)$ .
    On a :
    \[\begin{aligned}& x + y – 4\sqrt{x – 1} – 2\sqrt{y – 2} + 2 = 0 \\ &\Rightarrow (x – 1) – 4\sqrt{x – 1} + 4 + (y – 2) – 2\sqrt{y – 2} + 1 = 0 \\ &\Rightarrow \left(\sqrt{x – 1} – 2\right)^2 + \left(\sqrt{y – 2} – 1\right)^2 = 0 \\ &\Rightarrow \left(\sqrt{x – 1} – 2\right)^2 = 0 \text{ et } \left(\sqrt{y – 2} – 1\right)^2 = 0 \\ &\Rightarrow \sqrt{x – 1} – 2 = 0 \text{ et } \sqrt{y – 2} – 1 = 0 \\ &\Rightarrow \sqrt{x – 1} = 2 \text{ et } \sqrt{y – 2} = 1 \\ &\Rightarrow x – 1 = 4 \text{ et } y – 2 = 1 \\ &\Rightarrow x = 5 \text{ et } y = 3\end{aligned}\]
    D'où, d'après la contraposée : $(x \neq 5 \text{ ou } y \neq 3) \Rightarrow x + y – 4\sqrt{x – 1} – 2\sqrt{y – 2} + 2 \neq 0$, on tire :
    \[\left(\forall x \in [1; +\infty[\right) \left(\forall y \in [2; +\infty[\right) \ \left[ (x \neq 5 \text{ ou } y \neq 3) \Rightarrow x + y – 4\sqrt{x – 1} – 2\sqrt{y – 2} + 2 \neq 0 \right]\]
  3. Soit $(a;b) \in \mathbb{R}^2$. Montrons que : $\left[ (\forall \varepsilon > 0) \ a <b> b \Rightarrow \left[ (\exists \varepsilon > 0) \ ; \ a \ge b + \varepsilon \right]$ .
    Avec l'hypothèse $a > b$, on a donc $a – b > 0$ et, ainsi, on peut trouver un réel $\alpha > 0$ tel que $\alpha = a – b$ .
    En choisissant alors $\varepsilon = \dfrac{\alpha}{2}$, on a bien $a \ge b + \varepsilon$ . D'où le résultat.
  4. Soit $x$, $y$ et $z$ des réels. Montrons que la proposition « $x + y > 2z \Rightarrow (x > z \text{ ou } y > z)$ » est vraie :
    Pour cela on va montrer que sa contraposée « $(x \le z \text{ et } y \le z) \Rightarrow x + y \le 2z$ » est vraie.
    On a : $(x \le z \text{ et } y \le z) \Rightarrow x + y \le z + z \Rightarrow x + y \le 2z$ .
    Donc la proposition « $(x \le z \text{ et } y \le z) \Rightarrow x + y \le 2z$ » est vraie.
    Par suite, la proposition « $x + y > 2z \Rightarrow (x > z \text{ ou } y > z)$ » est aussi vraie.
Remarque
Remarques.
  • Il faut bien distinguer entre la négation, la contraposée et la réciproque :
    • [\tiny $\blacksquare$] La négation de $P \Rightarrow Q$ est $(P \text{ et } \overline{Q})$ ;
    • [\tiny $\blacksquare$] La réciproque de $P \Rightarrow Q$ est $Q \Rightarrow P$ ;
    • [\tiny $\blacksquare$] La contraposée de $P \Rightarrow Q$ est $\overline{Q} \Rightarrow \overline{P}$ .
  • Le recours au raisonnement par contraposée n'est évidemment pertinent que si cette contraposée est plus facile à prouver que l'implication directe.
Application
Applications. En utilisant le raisonnement par contraposée, montrer les implications suivantes :
  1. $\left(\forall x \in [-1; +\infty[\right) \ \left(x \neq 0 \Rightarrow \sqrt{1 + x} \neq 1 + \dfrac{x}{2}\right)$ .
  2. $(\forall x \in \mathbb{R}) \ \left(x^2 \neq 3 \Rightarrow \dfrac{2}{\sqrt{1 + x^2}} \neq 1\right)$ .
  3. $\left(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2\right) \ \big(4y \neq -3x \Rightarrow x – y \neq 7(x + y)\big)$ .
  4. $\left(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2\right) \ \left((xy – 1)(x – y) \neq 0 \Rightarrow x\left(y^2 + y + 1\right) \neq y\left(x^2 + x + 1\right)\right)$ .
  5. $\left(\forall (x;y) \in \left(]1; +\infty[\right)^2\right) \ \left(x \neq y \Rightarrow x^2 – 2x \neq y^2 – 2y\right)$ .
  6. $(\forall x \in \mathbb{R}) \ \left(x \notin [-1; 4] \Rightarrow x^2 – 3x – 4 > 0\right)$ .
  7. $\left(\forall x \in \mathbb{R}^+\right) \ \left(x \neq 0 \Rightarrow \dfrac{1}{1 + \sqrt{x}} \neq 1 – \sqrt{x}\right)$ .
  8. $\left(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2\right) \ \left(x^2 + y^2 \le 1 \Rightarrow |x + y| \le \sqrt{2}\right)$ .
  9. $\left(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2\right) \ \left( \left|2x^2 + 5xy + 3y^2\right| \le 3 \Rightarrow \left(|x + y| \le \sqrt{3} \text{ ou } |2x + 3y| \le \sqrt{3}\right) \right)$ .
  10. $\left(\forall (x;y) \in \mathbb{R}^2\right) \ \left(x^2 + xy + y^2 \le 3 \Rightarrow \left(|x + 2y| \le 2\sqrt{3} \text{ et } |x| \le 2\right) \right)$

4.Raisonnement par l’absurde

Proposition
Proposition. Soit $P$ et $Q$ deux propositions. La proposition suivante est une loi logique :
\[\big[ (\overline{P} \Rightarrow Q) \text{ et } (\overline{P} \Rightarrow \overline{Q}) \big] \Rightarrow P\]
Exemple
Exemples.
  1. Soit $a$ et $b$ deux réels tels que : $\left(\forall \varepsilon \in \mathbb{R}_+^*\right) \ ; \ |a – b| 0$. En prenant $\varepsilon = \dfrac{|a – b|}{2}$, on obtient selon $(1)$ : $|a – b| < \dfrac{|a – b|}{2}$, ce qui donne $1 t$ .
    Montrons par l'absurde que : $x > \dfrac{t}{3} \text{ ou } y > \dfrac{t}{3} \text{ ou } z > \dfrac{t}{3}$ .
    Par l'absurde, supposons que $x \le \dfrac{t}{3}$ et $y \le \dfrac{t}{3}$ et $z \le \dfrac{t}{3}$ . Il en résulte donc que $x + y + z \le \dfrac{t}{3} + \dfrac{t}{3} + \dfrac{t}{3}$, ce qui entraîne alors $x + y + z \le t$, ce qui contredit l'hypothèse $x + y + z > t$ .
    Par suite : $x > \dfrac{t}{3} \text{ ou } y > \dfrac{t}{3} \text{ ou } z > \dfrac{t}{3}$ .
Application
Applications.
  1. Soit $a$, $b$ et $c$ des réels positifs tels que $ab < c$ . Montrer que : $a < \sqrt{c} \text{ ou } b < \sqrt{c}$ .
  2. Soit $f$ une fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ telle que pour tout $(x;y) \in \left(\mathbb{R}^*\right)^2 : f(xy) = f(x)f(y)$ .
    On suppose que $f(1) \neq 0$ . Montrer que : $\left(\forall x \in \mathbb{R}^*\right) \ f(x) \neq 0$ .
  3. Montrer par l'absurde que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \ \sqrt{4n + 2} \notin \mathbb{N}$ .

5.Raisonnement par disjonction des cas

Proposition
Proposition. Soit $P$, $Q$ et $R$ trois propositions.
La proposition suivante est une loi logique : $\big[ (P \Rightarrow R) \text{ et } (Q \Rightarrow R) \big] \Leftrightarrow \big[ (P \text{ ou } Q) \Rightarrow R \big]$
Exemple
Exemples.
  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation suivante : $ (E) |x – 1| + |2x – 3| = 6$
    (On rappelle que $|x| = x \text{ si } x \ge 0 \text{ et que } |x| = -x \text{ si } x \le 0$)
    En considérant le tableau suivant, on va utiliser un raisonnement par disjonction de trois cas :
    \[\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & -\infty \hspace{2cm} 1 & \hspace{1.5cm} \dfrac{3}{2} \hspace{1.5cm} & \hspace{2cm} +\infty \\ \hline |2x – 3| & -2x + 3 & -2x + 3 \hspace{0.5cm} \text{\Large 0} & 2x – 3 \\ \hline |x – 1| & -x + 1 \hspace{0.5cm} \text{\Large 0} & x – 1 & x – 1 \\ \hline |2x – 3| + |x – 1| & -3x + 4 & -x + 2 & 3x – 4 \\ \hline \end{array}\]
    • [\tiny $\blacksquare$] \underline{\textbf{1\textsuperscript{er} cas :}} Si $x \in \left]-\infty ; 1\right]$
      L'équation $(E)$ est équivalente à $-3x + 4 = 6$, ce qui signifie que $x = -\dfrac{2}{3}$ .
      Comme $-\dfrac{2}{3} \in \left]-\infty ; 1\right]$, alors l'ensemble solution de $(E)$ dans $\left]-\infty ; 1\right]$ est : $S_1 = \left\{-\dfrac{2}{3}\right\}$ .
    • [\tiny $\blacksquare$] \underline{\textbf{2\textsuperscript{ème} cas :}} Si $x \in \left[1 ; \dfrac{3}{2}\right]$
      L'équation $(E)$ est équivalente à $-x + 2 = 6$, ce qui signifie que $x = -4$ .
      Comme $-4 \notin \left[1 ; \dfrac{3}{2}\right]$, alors l'ensemble solution de $(E)$ dans $\left[1 ; \dfrac{3}{2}\right]$ est : $S_2 = \emptyset$ .
    • [\tiny $\blacksquare$] \underline{\textbf{3\textsuperscript{ème} cas :}} Si $x \in \left[\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[$
      L'équation $(E)$ est équivalente à $3x – 4 = 6$, ce qui signifie que $x = \dfrac{10}{3}$ .
      Comme $\dfrac{10}{3} \in \left[\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[$, alors l'ensemble solution de $(E)$ dans $\left[\dfrac{3}{2} ; +\infty\right[$ est : $S_3 = \left\{\dfrac{10}{3}\right\}$ .
    Ainsi, l'ensemble solution de l'équation $(E)$ est : $S = S_1 \cup S_2 \cup S_3 = \left\{-\dfrac{2}{3} ; \dfrac{10}{3}\right\}$ .
  2. Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation suivante : $ (I) \sqrt{x^2 – 3x + 2} > \sqrt{5} . (x – 4)$
    Soit $D$ l'ensemble de définition de l'inéquation $(I)$ et $S$ son ensemble des solutions.
    On a pour tout $x \in \mathbb{R} : x \in D \Leftrightarrow x^2 – 3x + 2 \ge 0$ .
    En dressant le tableau de signe du trinôme $x^2 – 3x + 2$, on obtient : $D = \left]-\infty ; 1\right] \cup \left[2 ; +\infty\right[$ .
Application
Applications.
  1. Résoudre dans $\mathbb{R}$ les inéquations suivantes :
    \[(I_1) |x^2 – 4x| – x^2 > 0 ; (I_2) |2x – 1| + |2x + 1| + |x| \ge 4 ; (I_3) \sqrt{3 – x} + x 0 ; b) \ \ |x| + |x + 1| + |x – 1| \neq 0 ; c) \ \ |x – 1| \le x^2 – 2x + 2\]
  2. Soit $a$, $b$ et $c$ trois réels tels que $c$ est positif.
    En utilisant un raisonnement par disjonction des cas, montrer les deux implications suivantes :
    \[\left(|a| \le c \text{ et } |b| \le c\right) \Rightarrow |a + b| + |a – b| \le 2c ; |a + b| + |a – 2b| \le 3c \Rightarrow \left(|a| \le 2c \text{ et } |b| \le c\right)\]
  3. Soit $n$ un entier naturel.
    1. Démontrer que si $n$ est impair, alors il s'écrit sous la forme $n = 4k + 1$ ou $n = 4k + 3$ avec $k \in \mathbb{N}$.
    2. Déduire que si l'entier $n^2 – 1$ n'est pas divisible par $8$, alors l'entier $n$ est pair.

6.Raisonnement par récurrence

Proposition
Proposition. Soit $P(n)$ une fonction propositionnelle qui dépend d'un entier naturel $n$ et $n_0 \in \mathbb{N}$ .
Si la proposition $P(n_0)$ est vraie et si l'implication « $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$ » est vraie pour tout $n \ge n_0$ , alors, la proposition $P(n)$ est vraie, pour tout entier $n \ge n_0$ .
Exemple
Exemples.
  1. Soit $a$ un réel positif. Montrons par récurrence que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \ 1 + na + \dfrac{n(n – 1)}{2}a^2 \le (1 + a)^n$
    Soit $P(n)$ la propriété définie sur $\mathbb{N}^*$ par : « $1 + na + \dfrac{n(n – 1)}{2}a^2 \le (1 + a)^n$ »
    • [\tiny $\blacksquare$] Initialisation : Pour $n = 1$, on a : $1 + a + \dfrac{1(1 – 1)}{2}a^2 \le (1 + a)^1 \Leftrightarrow 1 + a \le 1 + a$ ; d'où $P(1)$ est vraie.
    • [\tiny $\blacksquare$] Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}^*$ fixé. Supposons que $P(n)$ : « $1 + na + \dfrac{n(n – 1)}{2}a^2 \le (1 + a)^n$ » est vraie et montrons que $P(n + 1)$ : « $1 + (n + 1)a + \dfrac{n(n + 1)}{2}a^2 \le (1 + a)^{n + 1}$ » est vraie.
      On a :
      \[\begin{aligned}1 + na + \dfrac{n(n – 1)}{2}a^2 \le (1 + a)^n &\Rightarrow (1 + a)\left(1 + na + \dfrac{n(n – 1)}{2}a^2\right) \le (1 + a)^{n + 1} \\ &\Rightarrow 1 + a + na + na^2 + \dfrac{n(n – 1)}{2}a^2 + \dfrac{n(n – 1)}{2}a^3 \le (1 + a)^{n + 1} \\ &\Rightarrow 1 + (n + 1)a + \dfrac{n(n + 1)}{2}a^2 + \dfrac{n(n – 1)}{2}a^3 \le (1 + a)^{n + 1} \\ &\Rightarrow 1 + (n + 1)a + \dfrac{n(n + 1)}{2}a^2 \le (1 + a)^{n + 1} \left(\text{car : } \dfrac{n(n – 1)}{2}a^3 \ge 0\right)\end{aligned}\]
      Par conséquent, la proposition $P(n + 1)$ est vraie.
    • [\tiny $\blacksquare$] Conclusion : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \ 1 + na + \dfrac{n(n – 1)}{2}a^2 \le (1 + a)^n$ .
  2. Montrons par récurrence que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \ 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$
    Soit $S(n)$ la propriété définie sur $\mathbb{N}^*$ par : « $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ »
    • [\tiny $\blacksquare$] Initialisation : Pour $n = 1$, on a : $\dfrac{1 \times 2 \times 3}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$ ; d'où $S(1)$ est vraie.
    • [\tiny $\blacksquare$] Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}^*$ fixé. Supposons que $S(n)$ : « $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ » est vraie et montrons que $S(n + 1)$ : « $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 + (n + 1)^2 = \dfrac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6}$ » est vraie.
      On a par hypothèse : $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ ; il s'ensuit :
      \[\begin{aligned}1^2 + 2^2 + \dots + n^2 + (n + 1)^2 &= \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + (n + 1)^2 \\ &= \dfrac{n(n + 1)(2n + 1) + 6(n + 1)^2}{6} \\ &= \dfrac{(n + 1)\big[n(2n + 1) + 6(n + 1)\big]}{6} \\ &= \dfrac{(n + 1)\left(2n^2 + 7n + 6\right)}{6}\end{aligned}\]
      On vérifie aisément que : $(n + 2)(2n + 3) = 2n^2 + 3n + 4n + 6 = 2n^2 + 7n + 6$ ; il en résulte donc :
      \[1^2 + 2^2 + \dots + n^2 + (n + 1)^2 = \dfrac{(n + 1)(n + 2)(2n + 3)}{6}\]
      Par conséquent, la proposition $S(n + 1)$ est vraie.
    • [\tiny $\blacksquare$] Conclusion : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \ 1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \dfrac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ .
  3. Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$, le nombre $3^{n + 2} + 5 \times 2^{3n + 1}$ est divisible par $19$ :
    On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : A_n = 3^{3n + 2} + 5 \times 2^{3n + 1}$ et on considère la propriété $P(n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par :
    « Le nombre $A_n$ est divisible par $19$ »
    • [\tiny $\blacksquare$] Initialisation : Pour $n = 0$, on a $A_0 = 19$, donc $A_0$ est divisible par $19$ ; d'où $P(0)$ est vraie.
    • [\tiny $\blacksquare$] Hérédité : Soit $n \in \mathbb{N}$ fixé. Supposons que $19$ divise $A_n$ et montrons que $19$ divise $A_{n + 1}$.
      Par hypothèse, $19$ divise $A_n$ ; il existe donc $k \in \mathbb{N}$ tel que $A_n = 19k$. De plus, on a :
      \[A_{n + 1} = 3^{3n + 5} + 5 \times 2^{3n + 4} = 27 \times 3^{3n + 2} + 5 \times 2^{3n + 4} = 27\left(A_n – 5 \times 2^{3n + 1}\right) + 5 \times 2^{3n + 4} = 27A_n – 95 \times 2^{3n + 1}\]
      Il s'ensuit donc : $A_{n + 1} = 27 \times 19k – 95 \times 2^{3n + 1} = 19\left(27k – 5 \times 2^{3n + 1}\right)$ ; d'où $19$ divise $A_{n + 1}$.
      On a donc montré que l'implication $P(n) \Rightarrow P(n + 1)$ est vraie.
    • [\tiny $\blacksquare$] Conclusion : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, le nombre $3^{3n + 2} + 5 \times 2^{3n + 1}$ est divisible par $19$.
Application
Applications.
  1. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ :
    \[1 + 2 + \dots + n = \dfrac{n(n + 1)}{2} ; 1^3 + 2^3 + \dots + n^3 = \dfrac{n^2(n + 1)^2}{4} ; 1 \times 2 + 2 \times 3 + \dots + n(n + 1) = \dfrac{n(n + 1)(n + 2)}{3}\]
  2. Montrer par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ , $5^{2n + 1} + 2^{n + 4} + 2^{n + 1}$ est divisible par $23$.
  3. Soit $a$ et $b$ deux réels distincts et strictement positifs.
    Montrer par récurrence que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \ \left(\dfrac{a + b}{2}\right)^n \le \dfrac{a^n + b^n}{2}$
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