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Les suites numériques

GÉNÉRALITÉS SUR LES SUITES NUMÉRIQUES

DÉFINITIONS ET NOTATIONS

Remarque
Définition. On appelle suite numérique toute fonction $u$ de $\mathbb{N}$ (ou une partie $I$ de $\mathbb{N}$) à valeurs dans $\mathbb{R}$. L'image d'un entier $n$ de $\mathbb{N}$ (ou de $I$) par la suite $u$ est notée $u_n$. Le nombre $u_n$ s'appelle le terme général de la suite $u$ ; c'est aussi le terme de rang $n$ de la suite $u$.
Remarque
Remarques.
  • La notation $u_n$ se lit aussi : « $u$ indice $n$ ».
  • Il ne faut pas confondre la suite $(u_n)$ et son terme général $u_n$, terme d'indice $n$ de la suite $(u_n)$.
  • Les suites rencontrées en pratique sont souvent définies sur $\mathbb{N}$ ou $\mathbb{N}^*$. On peut toujours ramener l'étude d'une suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ à une suite $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ indexée par $\mathbb{N}$ en posant : $(\forall n \in \mathbb{N}) \; x_n = u_{n+n_0}$
Exemple
Exemples.
  1. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_n = \dfrac{\sqrt{n+1}}{3n+2}$. Le premier terme de la suite $(u_n)$ est : $u_0 = \dfrac{\sqrt{0+1}}{3 \times 0 + 2} = \dfrac{1}{2}$. Le terme de rang 5 de la suite $(u_n)$ est : $u_5 = \dfrac{\sqrt{5+1}}{3 \times 5 + 2} = \dfrac{\sqrt{6}}{17}$.
  2. Soit $(v_n)_{n \geq 2}$ la suite numérique définie par : $v_n = \sqrt{n-2}$. Le premier terme de la suite $(v_n)_{n \geq 2}$ est : $v_2 = \sqrt{2-2} = 0$. On a : $v_3 = \sqrt{3-2} = 1 \text{ et } v_7 = \sqrt{7-2} = \sqrt{5} \text{ et } v_{11} = \sqrt{11-2} = \sqrt{9} = 3$.
  3. Soit $(w_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : $w_n = \cos(n\pi)$. Le premier terme de la suite $(w_n)_{n \geq 1}$ est : $w_1 = \cos \pi = -1$. On a : $w_{2018} = \cos(2018\pi) = 1 \text{ et } w_{2025} = \cos(2025\pi) = -1$.
  4. Soit $(S_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : $S_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dots + \dfrac{1}{n}$. Le premier terme de la suite $(S_n)_{n \geq 1}$ est : $S_1 = 1$. On a : $S_2 = 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} \text{ et } S_3 = 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{11}{6}$.

MODES USUELS DE GÉNÉRATION D’UNE SUITE NUMÉRIQUE

Exemple
Exemples.
  1. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_n = \dfrac{2n+1}{n+2}$ La suite $(u_n)$ est définie explicitement. Ici : $u_n = f(n)$ avec $f : x \mapsto \dfrac{2x+1}{x+2}$.
  2. Soit $(a_n)$ la suite numérique définie par : $a_n = n^{(-1)^n}$. La suite $(a_n)$ est définie explicitement comme suit : $a_n = n \text{ si } n \text{ est pair et } a_n = \dfrac{1}{n} \text{ si } n \text{ est impair.}$
  3. Soit $(v_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $v_0 = 2 \text{ et } v_{n+1} = 5v_n Р7 \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}$. La suite $(v_n)$ est d̩finie par une relation de r̩currence. Ici : $v_{n+1} = g(v_n) \text{ avec } g : x \mapsto 5x Р7$. Calculons $v_1, v_2 \text{ et } v_3$ : $v_1 = 5v_0 Р7 = 5 \times 2 Р7 = 3 ; v_2 = 5v_1 Р7 = 5 \times 3 Р7 = 8 ; v_3 = 5v_2 Р7 = 5 \times 8 Р7 = 33$
  4. Soit $(T_n)$ la suite numérique définie par : $\begin{cases} T_0 = 2 \text{ et } T_1 = -1
    T_{n+2} = 2T_{n+1} – 3T_n \;;\; n \in \mathbb{N} \end{cases}$ Calculons $T_2 \text{ et } T_3$ : $T_2 = 2T_1 – 3T_0 = 2(-1) – 3 \times 2 = -2 – 6 = -8 ; T_3 = 2T_2 – 3T_1 = 2(-8) – 3 \times (-1) = -16 + 3 = -13$
Application
Application. Soit $(u_n)_{n \geq 1}$ la suite numérique définie par : $u_1 = \dfrac{1}{4} \text{ et } u_{n+1} = \dfrac{n+1}{4n} u_n \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}^*$. Calculer : $u_2, u_3, u_4 \text{ et } u_5$.

SUITE MAJORÉE – SUITE MINORÉE – SUITE BORNÉE

Remarque
Définition.
  • On dit que la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est \textbf{majorée} s'il existe un réel $M$ tel que : $(\forall n \in I) \;\; u_n \leq M$
  • On dit que la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est \textbf{minorée} s'il existe un réel $m$ tel que : $(\forall n \in I) \;\; u_n \geq m$
  • On dit que la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est \textbf{bornée} si elle est à la fois majorée et minorée.
Exemple
Exemples.
  1. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_n = \dfrac{2n+3}{5n+1}$.
    • Montrons que la suite $(u_n)$ est majorée par $3$ : On a pour tout $n \in \mathbb{N} : 3 – u_n = 3 – \dfrac{2n+3}{5n+1} = \dfrac{15n+3 – 2n – 3}{5n+1} = \dfrac{13n}{5n+1}$. Puisque $n \in \mathbb{N}$, alors $\dfrac{13n}{5n+1} \geq 0$. Par conséquent : $3 – u_n \geq 0$, c'est-à-dire : $u_n \leq 3$. Ainsi, la suite $(u_n)$ est majorée par $3$.
    • Montrons que la suite $(u_n)$ est minorée par $\dfrac{2}{5}$ : On a pour tout $n \in \mathbb{N} : u_n – \dfrac{2}{5} = \dfrac{2n+3}{5n+1} – \dfrac{2}{5} = \dfrac{10n+15 – 10n – 2}{25n+5} = \dfrac{13}{25n+5}$. Puisque $n \in \mathbb{N}$, alors $\dfrac{13}{25n+5} \geq 0$. Par conséquent : $u_n – \dfrac{2}{5} \geq 0$, c'est-à-dire : $u_n \geq \dfrac{2}{5}$. Ainsi, la suite $(u_n)$ est minorée par $\dfrac{2}{5}$.
    Puisque la suite $(u_n)$ est majorée est minorée, alors elle est bornée.
  2. Soit $(v_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $v_0 = \dfrac{8}{3}$ et $v_{n+1} = 5 Р\dfrac{25}{4v_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrons par r̩currence que la suite $(v_n)$ est minor̩e par $\dfrac{5}{2}$ : \underline{Initialisation} : Pour $n = 0$, on a $v_0 = \dfrac{8}{3}$, donc : $v_0 \geq \dfrac{5}{2}$. \underline{H̩r̩dit̩} : Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $v_n \geq \dfrac{5}{2}$ et montrons que $v_{n+1} \geq \dfrac{5}{2}$. On a : $v_{n+1} Р\dfrac{5}{2} = 5 Р\dfrac{25}{4v_n} Р\dfrac{5}{2} = \dfrac{5}{2} Р\dfrac{25}{4v_n} = \dfrac{10v_n Р25}{4v_n} = \dfrac{10\left(v_n Р\dfrac{5}{2}\right)}{4v_n} = \dfrac{5\left(v_n Р\dfrac{5}{2}\right)}{2v_n}$
Remarque
Remarques.
  • On prendra garde au fait que, dans la définition ci-dessus, les réels $M$ et $m$ sont des constantes et ne dépendent pas de l'indice de la suite. Par exemple, la suite $(u_n)$ définie par $u_n = \sqrt{n}$ vérifie l'inégalité $u_n \leq n$ pour tout $n \in \mathbb{N}$, mais n'est pas une suite majorée.
  • S'il existe un réel $S \in \mathbb{R}^+$ tel que pour tout $n \in \mathbb{N}$, on a $|u_n| \leq S$, alors la suite $(u_n)$ est bornée.
Exemple
Exemple. Soit $(u_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $u_n = 3\cos n Р7(-1)^n \sin n Р9$ Montrons que la suite $(u_n)$ est born̩e : On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $|\cos n| \leq 1$ et $|\sin n| \leq 1$ et $|(-1)^n| = 1$ ; d'apr̬s l'in̩galit̩ triangulaire, on a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $|u_n| \leq |3\cos n| + |7(-1)^n \sin n| + |-9|$. Par cons̩quent : $|u_n| \leq 3|\cos n| + 7|(-1)^n \sin n| + 9 \leq 3 + 7 + 9$ On a donc montr̩ que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $|u_n| \leq 19$. Ainsi, la suite $(u_n)$ est born̩e.
Application
Applications.
  1. Soit $(a_n)$ la suite numérique définie par : $a_n = \dfrac{2n+5}{n+1}$. Montrer que la suite $(a_n)$ est majorée par 5 et minorée par 2.
  2. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 1 \text{ et } u_{n+1} = \dfrac{3u_n+2}{u_n+2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; 1 \leq u_n < 2$.
  3. Soit $(v_n)$ la suite numérique définie par : $v_0 = 2 \text{ et } v_{n+1} = \sqrt{6+v_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; 1 < v_n < 3$.
  4. Soit $(w_n)_{n \geq 2}$ la suite num̩rique d̩finie par : $w_n = \dfrac{5^n+3^n}{5^n Р2 \times 3^n}$. V̩rifier que pour tout entier $n \geq 2$ : $w_n = 1 + \dfrac{3}{\left(\dfrac{5}{3}\right)^n Р2}$ puis en d̩duire que la suite $(w_n)_{n \geq 2}$ est born̩e.

MONOTONIE D’UNE SUITE NUMÉRIQUE

Remarque
Définition.
  • On dit que la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est \textbf{croissante} si : $\left(\forall (n; m) \in I^2\right) \;\; (m \geq n \Rightarrow u_m \geq u_n)$
  • On dit que la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est \textbf{décroissante} si : $\left(\forall (n; m) \in I^2\right) \;\; (m \geq n \Rightarrow u_m \leq u_n)$
Remarque
Remarques.
  • Si la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est croissante alors : $(\forall n \in I) \;\; u_n \geq u_{n_0}$.
  • Si la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est décroissante alors : $(\forall n \in I) \;\; u_n \leq u_{n_0}$.
  • On définit de même une suite strictement croissante et strictement décroissante. Il suffit de remplacer dans la définition précédente, les symboles « $\leq$ » et « $\geq$ » par les symboles « $$ ».
Proposition
Proposition.
  • La suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est croissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) \;\; u_{n+1} – u_n \geq 0$.
  • La suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est strictement croissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) \;\; u_{n+1} – u_n > 0$.
  • La suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est décroissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) \;\; u_{n+1} – u_n \leq 0$.
  • La suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est strictement décroissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) \;\; u_{n+1} – u_n < 0$.
  • La suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est constante si, et seulement si : $(\forall n \in I) \;\; u_{n+1} = u_n$.
  • La suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est monotone si, et seulement si, elle est croissante ou décroissante.
Exemple
Exemples.
  1. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_n = \dfrac{2n+3}{n+2}$. Étudions la monotonie de la suite $(u_n)$ : On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $u_{n+1} – u_n = \dfrac{2(n+1)+3}{(n+1)+2} – \dfrac{2n+3}{n+2} = \dfrac{(n+2)(2n+5) – (n+3)(2n+3)}{(n+2)(n+3)} = \dfrac{1}{(n+2)(n+3)}$ Puisque $n \in \mathbb{N}$, alors $\dfrac{1}{(n+2)(n+3)} > 0$, c'est-à-dire : $u_{n+1} – u_n > 0$. En résumé, la suite $(u_n)$ est strictement croissante.
  2. Soit $(v_n)$ la suite num̩rique d̩finie sur $\mathbb{N}$ par : $v_0 = 3$ et $v_{n+1} = \dfrac{8v_n Р8}{v_n + 2}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
    • Montrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $2 < v_n < 4$ \underline{Initialisation} : Pour $n = 0$, on a $v_0 = 3$, donc on a bien $2 < v_0 < 4$. \underline{Hérédité} : Soit $n \in \mathbb{N}$. Supposons que $2 < v_n < 4$ et montrons que $2 < v_{n+1} < 4$. On a : $v_{n+1} – 2 = \dfrac{8v_n – 8}{v_n + 2} – 2 = \dfrac{6v_n – 12}{v_n + 2} = \dfrac{6(v_n – 2)}{v_n + 2}$. Puisque $2 < v_n 0$ ; par conséquent $v_{n+1} – 2 > 0$, c'est-à-dire : $2 < v_{n+1}$. De même, on a : $4 – v_{n+1} = 4 – \dfrac{8v_n – 8}{v_n + 2} = \dfrac{4(4 – v_n)}{v_n + 2}$. Puisque $2 < v_n 0$ ; par conséquent $4 – v_{n+1} > 0$, c'est-à-dire : $v_{n+1} < 4$. \underline{Conclusion} : Pour tout $n \in \mathbb{N}$, $2 < v_n < 4$.
    • Étudions la monotonie de la suite $(v_n)$ : On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_{n+1} – v_n = \dfrac{8v_n – 8}{v_n + 2} – v_n = \dfrac{-v_n^2 + 6v_n – 8}{v_n + 2}$ Considérons le trinôme : $P(x) = x^2 – 6x + 8$. Le discriminant de $P(x)$ est : $\Delta = 36 – 32 = 4$ et les racines du trinôme $P(x)$ sont : $x_1 = 2$ et $x_2 = 4$. Il s'ensuit donc : $P(x) = (x-2)(x-4)$. Il en résulte donc que : $v_{n+1} – v_n = \dfrac{-v_n^2 + 6v_n – 8}{v_n + 2} = -\dfrac{(v_n – 2)(v_n – 4)}{v_n + 2}$ Comme $2 < v_n 0$ et $v_n – 4 0$, c'est-à-dire : $v_{n+1} – v_n > 0$. En définitive, la suite $(v_n)$ est strictement croissante.
    • Montrons que : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \;\; v_n \geq \dfrac{16}{5}$ Puisque la suite $(v_n)$ est strictement croissante, alors pour tout $n \in \mathbb{N}^* : v_n \geq v_1$. Or : $v_1 = \dfrac{8v_0 – 8}{v_0 + 2} = \dfrac{16}{5}$, donc : $v_n \geq \dfrac{16}{5}$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$.
  3. Soit $(S_n)_{n \geq 1}$ la suite num̩rique d̩finie pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ par : $S_n = \sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k}$ Montrons que la suite $(S_n)_{n \geq 1}$ est croissante : On a pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ : $S_{n+1} РS_n = \sum_{k=1}^{n+1} \dfrac{1}{k} Р\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k} = \dfrac{1}{n+1}$ Puisque $\dfrac{1}{n+1} > 0$, alors : $S_{n+1} РS_n \geq 0$. Ainsi, la suite $(S_n)_{n \geq 1}$ est croissante.
Remarque
Remarque. Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite num̩rique telle que : $(\forall n \in I) \;\; u_n > 0$. On a pour tout $n \in I$ : $u_{n+1} Рu_n = u_n \left( \dfrac{u_{n+1}}{u_n} Р1 \right)$ ; le signe de $u_{n+1} Рu_n$ est celui donc de $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} Р1$. Ainsi, pour ̩tudier la monotonie de la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$, on peut comparer $\dfrac{u_{n+1}}{u_n}$ et 1 et on a :
  • La suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est croissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) \;\; \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \geq 1$.
  • La suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est décroissante si, et seulement si : $(\forall n \in I) \;\; \dfrac{u_{n+1}}{u_n} \leq 1$.
Application
Applications.
  1. Étudier la monotonie des suites $(u_n)$ et $(v_n)$ définies par : $u_n = \dfrac{2n+1}{3n+1}$ et $v_n = 3^{2n-1}$.
  2. On consid̬re la suite num̩rique $(w_n)$ d̩finie par : $w_0 = 6$ et $w_{n+1} = 4 Р\dfrac{3}{w_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
    1. Montrer par récurrence que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; w_n > 3$.
    2. Montrer que la suite $(w_n)$ est décroissante puis en déduire que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; 3 \dfrac{1}{4}$. Prouver que la suite $(t_n)$ est strictement croissante.
    3. On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 1 \text{ et } u_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(u_n + \sqrt{u_n} + 2\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
      1. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; 1 \leq u_n \leq 4$.
      2. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; u_{n+1} Рu_n = \dfrac{1}{2}\left(2 Р\sqrt{u_n}\right)\left(1 + \sqrt{u_n}\right)$ puis d̩duire la monotonie de $(u_n)$.
      3. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; 4 – u_{n+1} \leq \dfrac{3}{4}(4 – u_n)$.
      4. En d̩duire par r̩currence que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; 4 Рu_n \leq 3\left(\dfrac{3}{4}\right)^n$.

SUITE ARITHMÉTIQUE – SUITE GÉOMÉTRIQUE

SUITE ARITHMÉTIQUE

Remarque
Définition. On dit que la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est \textbf{arithmétique} s'il existe un réel $r$ (indépendant de $n$) tel que :
\[(\forall n \in I) \;\; u_{n+1} – u_n = r\]
Le nombre $r$ est appelé \textbf{la raison} de la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$.
Exemple
Exemples.
  1. Soit $(u_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $u_n = \dfrac{2}{3}n Р4$. On a pour tout $n \in \mathbb{N} : u_{n+1} Рu_n = \dfrac{2}{3}(n+1) Р4 Р\dfrac{2}{3}n + 4 = \dfrac{2}{3}$. Par cons̩quent, la suite $(u_n)$ est arithm̩tique de raison $r = \dfrac{2}{3}$.
  2. Soit $(v_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $v_n = n^2 + 3n + 1$. On a pour tout $n \in \mathbb{N} : v_{n+1} Рv_n = (n+1)^2 + 3(n+1) + 1 Рn^2 Р3n Р1 = 2n + 4$. Puisque le nombre $2n + 4$ d̩pend de $n$, alors la suite $(v_n)$ n'est pas arithm̩tique.
  3. Soit $(u_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $u_0 = 0 \text{ et } u_{n+1} = \dfrac{u_n Р1}{u_n + 3}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : v_n = \dfrac{1}{u_n + 1}$. Montrons que la suite $(v_n)$ est arithm̩tique : On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_{n+1} Рv_n = \dfrac{1}{u_{n+1} + 1} Р\dfrac{1}{u_n + 1} = \dfrac{1}{\dfrac{u_n Р1}{u_n + 3} + 1} Р\dfrac{1}{u_n + 1} = \dfrac{u_n + 3}{2u_n + 2} Р\dfrac{2}{2u_n + 2} = \dfrac{u_n + 1}{2(u_n + 1)} = \dfrac{1}{2}$ On a donc pour tout $n \in \mathbb{N} : v_{n+1} Рv_n = \dfrac{1}{2}$. Ainsi, la suite $(v_n)$ est arithm̩tique de raison : $r = \dfrac{1}{2}$.
Application
Applications.
  1. Soit $(w_n)$ la suite numérique définie par : $w_n = -\sqrt{3}n + \dfrac{3}{2}$. Montrer que la suite $(w_n)$ est arithmétique et déterminer sa raison $r$.
  2. Soit $(u_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $u_0 = 5 \text{ et } u_{n+1} = \dfrac{2u_n Р1}{u_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : v_n = \dfrac{1}{u_n Р1}$. Montrer que la suite $(v_n)$ est arithm̩tique et d̩terminer sa raison $r$
  3. Soit $(b_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; b_0 + b_1 + \dots + b_n = 4n^2 Р3n$. Montrer que la suite $(b_n)$ est arithm̩tique dont on d̩terminera la raison et le premier terme.
Proposition
Proposition. Pour que la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ soit arithmétique, il faut et il suffit que : $(\forall n \geq n_0) \;\; 2u_{n+1} = u_n + u_{n+2}$.
Preuve
Preuve.
  • Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite arithmétique de raison $r$. On a donc pour tout entier $n \geq n_0 : u_{n+1} = u_n + r \text{ et } u_{n+2} = u_{n+1} + r \text{ ; donc : } u_{n+2} – u_{n+1} = u_{n+1} – u_n$, c'est-à-dire : $2u_{n+1} = u_n + u_{n+2}$.
  • Inversement, soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique telle que : $(\forall n \geq n_0) \;\; 2u_{n+1} = u_n + u_{n+2}$. On a pour tout entier $n \geq n_0 : u_{n+2} – u_{n+1} = u_{n+1} – u_n$. Par conséquent, la suite $(u_{n+1} – u_n)_{n \geq n_0}$ est constante, c'est-à-dire, il existe un réel $r$ (indépendant de $n$) tel que : $u_{n+1} – u_n = r$ pour tout entier $n \geq n_0$. Ainsi, la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est arithmétique de raison $r$.
Remarque
Remarque. Pour que trois réels $x$, $y$ et $z$, choisis dans cet ordre, soient des termes consécutifs d'une suite arithmétique, il faut et il suffit que : $x + z = 2y$.
Proposition
Proposition. Si $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une suite arithmétique de raison $r$, alors pour tout $(n; p) \in I^2 : u_n = u_p + (n-p)r$
Preuve
Preuve. Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite arithmétique de raison $r$. On a : $\begin{cases} u_{p+1} = u_p + r
u_{p+2} = u_{p+1} + r
\vdots \vdots \vdots
u_n = u_{n-1} + r \end{cases} (n-p \text{ égalités})$
Remarque
Remarques.
  • Si la suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; u_n = u_0 + nr$.
  • Si la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ est arithmétique de raison $r$, alors : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \;\; u_n = u_1 + (n-1)r$.
  • Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite arithmétique de raison $r$.
    • Si $r > 0$ alors la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est strictement croissante.
    • Si $r < 0$ alors la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est strictement décroissante.
Exemple
Exemples.
  1. Soit $(u_n)$ la suite arithmétique telle que : $u_1 = 3 \text{ et } u_5 = 9$.
    • Déterminons la raison $r$ de la suite $(u_n)$ : On sait que : $(\forall (n; p) \in \mathbb{N}^2) \;\; u_n = u_p + (n-p)r \text{ ; d'où : } u_5 = u_1 + (5-1)r (\text{Ici : } p=1 \text{ et } n=5)$. Par conséquent : $r = \dfrac{u_5 – u_1}{4} = \dfrac{9-3}{4} = \dfrac{3}{2}$.
    • Déterminons l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ : On a pour tout $n \in \mathbb{N} : u_n = u_1 + (n-1)r = 3 + (n-1)\dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3}{2}n$. Ainsi : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; u_n = \dfrac{3}{2}n + \dfrac{3}{2}$
  2. On considère les suites numériques $(w_n)$ et $(T_n)$ définies par : $w_0 = \sqrt{3} , w_{n+1} = \sqrt{1 + w_n^2} \text{ et } T_n = w_n^2 \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}$
    • Calculons $w_1$, $w_2$, $T_0$ et $T_1$ : On a : $w_1 = \sqrt{1 + w_0^2} = 2 ; w_2 = \sqrt{1 + w_1^2} = \sqrt{5} ; T_0 = w_0^2 = 3 ; T_1 = w_1^2 = 4$.
    • Montrons que la suite $(T_n)$ est arithmétique : On a pour tout $n \in \mathbb{N} : T_{n+1} – T_n = w_{n+1}^2 – w_n^2 = 1 + w_n^2 – w_n^2 = 1$. Par conséquent, $(T_n)$ est une suite arithmétique de raison $r = 1$.
    • Expressions de $T_n$ et $w_n$ en fonction de $n$ : Puisque la suite $(T_n)$ est arithmétique de raison $r = 1$, alors pour tout $n \in \mathbb{N} : T_n = T_0 + nr$, d'où : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; T_n = n + 3$
Application
Applications.
  1. Soit $(u_n)$ une suite arithm̩tique de raison $r$ telle que : $\begin{cases} u_0 Рu_4 = 6
    2u_0 + u_4 = 3 \end{cases}$
    1. Déterminer $u_0$, $u_4$ et $r$.
    2. Déterminer l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ puis en déduire $u_{100}$.
  2. Soit $(v_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que : $\begin{cases} v_2 + v_3 + v_4 = 15
    v_6 = 20 \end{cases}$. Déterminer $v_0$ et $r$ puis en déduire l'expression du terme général $v_n$ en fonction de $n$.
  3. Soit $(w_n)$ la suite numérique définie par : $w_0 = 1 \text{ et } w_{n+1} = \dfrac{5w_n}{2w_n + 5}$. On pose : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; t_n = \dfrac{1}{w_n}$.
    1. Calculer $w_1$ et $w_2$.
    2. Vérifier que la suite $(t_n)$ est arithmétique dont on déterminera la raison et le premier terme.
    3. Exprimer $t_n$ et $w_n$ en fonction de $n$.

SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS D’UNE SUITE ARITHMÉTIQUE

Proposition
Proposition. Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite arithmétique. On pose : $S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n \text{ où } (n; p) \in \mathbb{N}^2 \text{ et } n \geq p \geq n_0$. Alors :
\[S_n = \dfrac{n-p+1}{2}(u_p + u_n)\]
Preuve
Preuve. Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite arithmétique de raison $r$. On a : $\begin{cases} S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n
S_n = u_n + u_{n-1} + \dots + u_p \end{cases}$ Il s'ensuit donc : $2S_n = (u_p + u_n) + (u_{p+1} + u_{n-1}) + \dots + (u_{n-1} + u_{p+1}) + (u_n + u_p)$. On a pour tout $k \in \{0; 1; \dots; n\} : u_{p+k} + u_{n-k} = (u_p + kr) + u_p + (n-k-p)r$ ; donc : $u_{p+k} + u_{n-k} = u_p + \left[u_p + (n-p)r\right] = u_p + u_n$ Par conséquent : $2S_n = \underbrace{(u_p + u_n) + (u_p + u_n) + \dots + (u_n + u_p)}_{n-p+1 \text{ termes}} = (n-p+1)(u_n + u_p)$. En définitive : $S_n = \dfrac{(n-p+1)(u_n + u_p)}{2}$
Remarque
Remarques.
  • La somme $S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n$ peut aussi s'écrire simplement : $S_n = \sum_{k=p}^n u_k$. Cette somme contient $(n-p+1)$ termes.
  • Dans le cas où $p = 0$, on obtient : $S_n = \sum_{k=0}^n u_k = \dfrac{n+1}{2}(u_0 + u_n)$.
  • Dans le cas où $p = 1$, on obtient : $S_n = \sum_{k=1}^n u_k = \dfrac{n}{2}(u_1 + u_n)$.
  • De façon générale, la somme de termes successifs d'une suite arithmétique est égale au nombre de termes multiplié par la moyenne arithmétique des termes extrêmes. $u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = \dfrac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2}$ $= \dfrac{(\text{nombre de termes}) \times (\text{1er terme de la somme} + \text{dernier terme de la somme})}{2}$
Exemple
Exemples.
  1. Calculons en fonction de $n$ la somme : $S_n = 1 + 2 + \dots + n$ On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : u_n = n$. La suite $(u_n)$ est arithmétique de raison $r = 1$. On a donc : $S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n = \dfrac{n}{2}(u_1 + u_n) = \dfrac{n(n+1)}{2}$.
  2. Calculons en fonction de $n$ la somme : $T_n = 1 + 3 + 5 + \dots + (2n+1)$ On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : v_n = 2n + 1$. La suite $(v_n)$ est arithmétique de raison $r = 2$. On a donc : $T_n = v_0 + v_1 + \dots + v_n = \dfrac{n+1}{2}(v_0 + v_n) = \dfrac{(n+1)}{2}(1 + 2n + 1)$. Ainsi : $T_n = (n+1)^2$.
  3. Soit $(u_n)$ une suite arithm̩tique telle que : $S = u_3 + u_4 + \dots + u_{10} = 168 \text{ et } u_6 = 5$. D̩terminons la raison $r$ de cette suite et son premier terme $u_0$ : Puisque la suite $(u_n)$ est arithm̩tique, alors : $S = \dfrac{10 Р3 + 1}{2}(u_3 + u_{10}) = 4(u_3 + u_{10})$. De plus : $u_3 = u_6 + (3-6)r = 5 Р3r \text{ et } u_{10} = u_6 + (10-6)r = 5 + 4r$. Par cons̩quent : $S = 4(5 Р3r + 5 + 4r) = 40 + 4r = 168$, ce qui donne : $r = \dfrac{168-40}{4} = 32$. De l'̩galit̩ $u_6 = u_0 + 6r$, on tire : $u_0 = u_6 Р6r = 5 Р6 \times 32 = -187$. En r̩sum̩ : $u_0 = -187 \text{ et } r = 32$.
Application
Applications.
  1. Calculer la somme : $S_n = -3 + 1 + 5 + \dots + (4n+1)$.
  2. Soit $(u_n)$ une suite arithmétique de raison $r$ telle que : $u_1 + u_2 + \dots + u_{26} = 1144 \text{ et } u_{26} = 94$ Calculer $u_1$ et $r$ puis exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Soit $(a; b) \in \mathbb{R}^* \times \mathbb{R}$. On considère la suite numérique $(u_n)$ définie par : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; u_n = an + b$. Montrer que la suite $(u_n)$ est arithmétique puis exprimer en fonction de $n$ la somme : $S_n = \sum_{k=0}^n u_k$.
  4. On consid̬re la suite $(u_n)$ d̩finie par : $u_0 = 1 \text{ et } u_{n+1} = u_n + 2n Р2 \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}$. On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : v_n = u_{n+1} Рu_n$.
    1. Vérifier que la suite $(v_n)$ est arithmétique dont on déterminera la raison et le premier terme.
    2. Calculer la somme $S_n = \sum_{k=0}^n v_k$ en fonction de $n$.
    3. En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.

SUITE GÉOMÉTRIQUE

Remarque
Définition. On dit que la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est \textbf{géométrique} s'il existe un réel $q$ (indépendant de $n$) tel que :
\[(\forall n \in I) \;\; u_{n+1} = q u_n\]
Le nombre $q$ est appelé \textbf{la raison} de la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$.
Exemple
Exemples.
  1. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_n = 4\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n$. On a pour tout $n \in \mathbb{N} : u_{n+1} = 4\left(-\dfrac{2}{3}\right)^{n+1} = 4\left(-\dfrac{2}{3}\right)\left(-\dfrac{2}{3}\right)^n = -\dfrac{2}{3}u_n$. Par conséquent, la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q = -\dfrac{2}{3}$.
  2. Soit $(u_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $u_0 = 0 \text{ et } u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}$. On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : v_n = \dfrac{u_n Р1}{u_n + 3}$. Montrons que la suite $(v_n)$ est g̩om̩trique : On a pour tout $n \in \mathbb{N}$ : $v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} Р1}{u_{n+1} + 3} = \dfrac{\dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} Р1}{\dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4} + 3} = \dfrac{\dfrac{u_n Р1}{u_n + 4}}{\dfrac{5u_n + 15}{u_n + 4}} = \dfrac{u_n Р1}{5u_n + 15} = \dfrac{1}{5} \times \dfrac{u_n Р1}{u_n + 3} = \dfrac{1}{5}v_n$ Donc la suite $(v_n)$ est g̩om̩trique de raison $q = \dfrac{1}{5}$.
Application
Applications.
  1. Soit $(a_n)$ et $(b_n)$ les deux suites num̩riques d̩finies par : $a_n = \left(\sqrt{2} Р1\right)^n \text{ et } b_n = 3 \times \dfrac{\sqrt{5}}{2^{n-1}}$. Montrer que $(a_n)$ et $(b_n)$ sont g̩om̩triques.
  2. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = \dfrac{1}{2} \text{ et } u_{n+1} = \dfrac{9u_n}{4u_n + 3} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}$.
    1. Montrer par récurrence que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; u_n \neq 0$.
    2. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $v_n = 2 Р\dfrac{3}{u_n}$. Montrer que la suite $(v_n)$ est g̩om̩trique dont on d̩terminera la raison et le premier terme.
  3. Soit $(x_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $x_0 = 2 \text{ et } x_{n+1} = \dfrac{10 + x_n}{3} \text{ pour tout } n \in \mathbb{N}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $y_n = x_n Р5$. Montrer que la suite $(y_n)$ est g̩om̩trique dont on d̩terminera la raison et le premier terme.
Proposition
Proposition. Pour que la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ soit géométrique, il faut et il suffit que : $(\forall n \geq n_0) \;\; u_{n+1}^2 = u_n \times u_{n+2}$.
Preuve
Preuve.
  • Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite géométrique de raison $q$.
    • Si $q = 0$, alors pour tout $n \geq n_0 : u_{n+1} = 0 \text{ et } u_{n+2} = 0$. Donc : $(\forall n \geq n_0) \;\; u_{n+1}^2 = u_n \times u_{n+2} = 0$.
    • Si $q \neq 0$, alors on peut distinguer deux cas :
      • Si $u_{n_0} = 0$, alors pour tout $n \geq n_0 : u_{n+1} = 0 \text{ et } u_{n+2} = 0$. Donc : $(\forall n \geq n_0) \;\; u_{n+1}^2 = u_n \times u_{n+2} = 0$.
      • Si $u_{n_0} \neq 0$, alors pour tout entier $n \geq n_0 : u_{n+1} = q u_n \text{ et } u_{n+2} = q u_{n+1} \text{ ; donc : } q u_{n+1}^2 = q u_n \times u_{n+2}$. Puisque $q \neq 0$ alors : $u_{n+1}^2 = u_n \times u_{n+2}$.
  • Inversement, soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite numérique telle que : $(\forall n \geq n_0) \;\; u_{n+1}^2 = u_n \times u_{n+2}$.
    • Si $u_{n_0} = 0$ alors pour tout $n \geq n_0$, $u_n = 0$. La suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est nulle.
    • Si $u_{n_0} \neq 0$, alors on peut distinguer deux cas :
      • Si $u_{n_0+1} = 0$, alors pour tout $n \geq n_0+1 : u_n = 0$. La suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est donc géométrique de raison $q = 0$.
      • Si $u_{n_0+1} \neq 0$, alors pour tout $n \geq n_0 : u_n \neq 0$. De l'égalité $u_{n+1}^2 = u_n \times u_{n+2}$, on tire : $\dfrac{u_{n+2}}{u_{n+1}} = \dfrac{u_{n+1}}{u_n}$. Par conséquent, la suite $\left(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\right)_{n \geq n_0}$ est constante, c'est-à-dire, il existe un réel $q$ (indépendant de $n$) tel que : $\dfrac{u_{n+1}}{u_n} = q \text{ pour tout entier } n \geq n_0$. Ainsi, la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est géométrique de raison $q$.
Remarque
Remarque. Pour que trois réels $x$, $y$ et $z$, dans cet ordre, soient des termes consécutifs d'une suite géométrique, il faut et il suffit que : $x.z = y^2$.
Proposition
Proposition. Si $(u_n)_{n \geq n_0}$ est une suite géométrique de raison $q \neq 0$, alors pour tout $(n; p) \in I^2 : u_n = u_p q^{n-p}$
Preuve
Preuve. Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite géométrique de raison $q$.
  • Si $u_{n_0} = 0$, alors la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est nulle.
  • Si $u_{n_0} \neq 0$, alors pour tout entier $n \geq n_0 : u_n \neq 0$. On a de plus : $\begin{cases} u_{p+1} = q u_p
    u_{p+2} = q u_{p+1}
    \vdots \vdots
    u_n = q u_{n-1} \end{cases} (n-p \text{ égalités})$ En multipliant ces égalités, on obtient : $u_n = u_p \times \underbrace{q \times q \times \dots \times q}_{n-p \text{ fois}}$, c'est-à-dire : $u_n = u_p q^{n-p}$ (On peut aussi faire un raisonnement par récurrence sur $n$).
Remarque
Remarques.
  • Si la suite $(u_n)$ est géométrique de raison $q$, alors : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; u_n = u_0 q^n$.
  • Si la suite $(u_n)_{n \geq 1}$ est géométrique de raison $q$, alors : $(\forall n \in \mathbb{N}^*) \;\; u_n = u_1 q^{n-1}$.
  • Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite géométrique de raison $q$.
    • Si $u_{n_0} > 0$ et $q > 1$, alors la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est strictement croissante.
    • Si $u_{n_0} > 0$ et $0 < q < 1$, la suite $(u_n)_{n \geq n_0}$ est strictement décroissante.
Exemple
Exemples.
  1. Soit $(u_n)$ la suite géométrique telle que : $u_1 = \dfrac{3}{2}$ et $u_4 = \dfrac{3}{16}$.
    • Déterminons la raison $q$ de la suite $(u_n)$ : On sait que : $\left(\forall (n; p) \in \mathbb{N}^2\right) \;\; u_n = u_p q^{n-p}$ ; d'où : $u_4 = u_1 q^3$ ( Ici : $p = 1$ et $n = 4$ ). Par conséquent : $q^3 = \dfrac{1}{8} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3$, ce qui donne : $q = \dfrac{1}{2}$.
    • Déterminons l'expression de $u_n$ en fonction de $n$ : On a pour tout $n \in \mathbb{N} : u_n = u_1 q^{n-1} = \dfrac{3}{2} \left(\dfrac{1}{2}\right)^{n-1}$. Ainsi : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; u_n = 3 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$.
  2. Soit $(v_n)$ la suite num̩rique d̩finie par : $v_0 = \dfrac{1}{2}$ et $v_{n+1} = \dfrac{v_n}{3 Рv_n}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $w_n = 1 Р\dfrac{2}{v_n}$.
    • Montrons que la suite $(w_n)$ est géométrique : On a pour tout $n \in \mathbb{N} : w_{n+1} = 1 – \dfrac{2}{v_{n+1}} = 1 – \dfrac{2}{\dfrac{v_n}{3 – v_n}} = 1 – \dfrac{6 – 2v_n}{v_n} = 3 \left(1 – \dfrac{2}{v_n}\right) = 3w_n$. Ainsi, la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q = 3$ et de premier terme $w_0 = 1 – \dfrac{2}{v_0} = -3$.
    • Expressions de $w_n$ et $v_n$ en fonction de $n$ : Puisque la suite $(w_n)$ est géométrique de raison $q = 3$, alors pour tout $n \in \mathbb{N} : w_n = w_0 q^n = -3 \times 3^n$. Ainsi, pour tout $n \in \mathbb{N} : w_n = -3^{n+1}$. De l'égalité $w_n = 1 – \dfrac{2}{v_n}$, on tire : $v_n = \dfrac{2}{1 – w_n}$. Par suite : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; v_n = \dfrac{2}{1 + 3^{n+1}}$.
Application
Applications.
  1. Soit $(u_n)$ une suite géométrique à termes positifs tels que : $u_4 = 0,84$ et $u_6 = 5,25$
    1. Calculer la raison $q$ de cette suite et le premier terme $u_0$.
    2. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
    3. Préciser la monotonie de la suite $(u_n)$.
  2. On consid̬re la suite num̩rique $(u_n)$ d̩finie par : $u_0 = \dfrac{1}{2}$ et $u_{n+1} = 2u_n Р3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : v_n = u_n Р3$.
    1. Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme.
    2. Exprimer $v_n$ et $u_n$ en fonction de $n$.
  3. Soit $a$, $b$ et $c$ trois termes consécutifs d'une suite géométrique tels que : $\begin{cases} a + b + c = 36,75
    abc = 343 \end{cases}$ Déterminer $a$, $b$ et $c$.
  4. Soit $(u_n)$ la suite num̩rique $(u_n)$ d̩finie par : $u_0 = 0$ et $u_1 = 1$ et $u_{n+2} = \dfrac{1}{3} \left(7u_{n+1} Р2u_n\right)$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Pour tout $n \in \mathbb{N}$, on pose : $v_{n+1} = u_{n+1} Р2u_n$ et $w_{n+1} = u_{n+1} Р\dfrac{1}{3}u_n$.
    1. Calculer $v_1$ et $w_1$.
    2. Montrer que les suites $(v_n)_{n \geq 1}$ et $(w_n)_{n \geq 1}$ sont géométriques.
    3. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.

SOMME DE TERMES CONSÉCUTIFS D’UNE SUITE GÉOMÉTRIQUE

Proposition
Proposition. Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$. On pose : $S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n \text{où } (n; p) \in \mathbb{N}^2 \text{ et } n \geq p \geq n_0$. Alors :
\[S_n = u_p \times \dfrac{1 – q^{n – p + 1}}{1 – q}\]
Preuve
Preuve. Soit $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite g̩om̩trique de raison $q \neq 1$. On a : $S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n$ ; Par cons̩quent : $q S_n = q u_p + q u_{p+1} + \dots + q u_n = u_{p+1} + u_{p+2} + \dots + u_n + u_{n+1}$. Il en r̩sulte donc l'̩galit̩ : $S_n Рq S_n = u_p Рu_{n+1} = u_p Рu_p . q^{n-p+1} = u_p \left(1 Рq^{n-p+1}\right)$ Il s'ensuit donc : $(1 Рq) S_n = u_p \left(1 Рq^{n-p+1}\right)$. En d̩finitive : $S_n = u_p \times \dfrac{1 Рq^{n-p+1}}{1 Рq}$
Remarque
Remarques.
  • Dans le cas où $p = 0$, on obtient : $S_n = \sum_{k=0}^n u_k = u_0 \times \dfrac{1 – q^{n+1}}{1 – q} \text{et} S_{n-1} = \sum_{k=0}^{n-1} u_k = u_0 \times \dfrac{1 – q^n}{1 – q}$
  • Dans le cas où $p = 1$, on obtient : $S_n = \sum_{k=1}^n u_k = u_1 \times \dfrac{1 – q^n}{1 – q}$
  • Si $(u_n)_{n \geq n_0}$ une suite géométrique de raison $q = 1$, alors : $\sum_{k=p}^n u_k = (n – p + 1)u_p$
  • De façon générale, la somme de termes successifs d'une suite géométrique peut être retenue par : $u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = u_p \dfrac{1 – q^{n – p + 1}}{1 – q}$ $= 1^{\text{er}} \text{ terme de la somme } \times \dfrac{1 – q^{\text{nombre de termes}}}{1 – q}$
Exemple
Exemples.
  1. Calculons en fonction de $n$ la somme : $S_n = 1 + 2 + 2^2 + \dots + 2^n$ On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : u_n = 2^n$. La suite $(u_n)$ est g̩om̩trique de raison $q = 2$. On a donc : $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 Р2^{n+1}}{1 Р2} = 1 \times \dfrac{1 Р2^{n+1}}{-1}$. Ainsi : $S_n = 2^{n+1} Р1$.
  2. Calculons en fonction de $n$ la somme : $S_n = 1 + \dfrac{1}{2} + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 + \dots + \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ On pose pour tout $n \in \mathbb{N} : v_n = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. La suite $(v_n)$ est g̩om̩trique de raison $q = \dfrac{1}{2}$. On a donc : $S_n = u_0 + u_1 + \dots + u_n = u_0 \times \dfrac{1 Р\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{1 Р\dfrac{1}{2}} = \dfrac{1 Р\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}}{\dfrac{1}{2}}$. Ainsi : $S_n = 2 \left(1 Р\left(\dfrac{1}{2}\right)^{n+1}\right)$.
Application
Applications.
  1. Soit $(u_n)$ la suite numérique définie par : $u_0 = 2$ et $u_{n+1} = \dfrac{3}{5}u_n + \dfrac{2}{5}$ pour tout $n \in \mathbb{N}$.
    1. Montrer que la suite $(v_n)$ d̩finie pour tout $n \in \mathbb{N}$ par : $v_n = u_{n+1} Рu_n$ est g̩om̩trique.
    2. Calculer en fonction de $n$ la somme $S_n = \sum_{k=0}^n v_k$ puis en déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
  2. Soit $(u_n)$ une suite géométrique de raison $q \neq 1$. On pose pour tout $n \in \mathbb{N}^* : S_n = u_1 + u_2 + \dots + u_n$
    1. Montrer que : $(\forall n \in \mathbb{N}) \;\; S_n \left(S_{3n} – S_{2n}\right) = \left(S_{2n} – S_n\right)^2$.
    2. Montrer que : $\sqrt{u_1 u_2} + \sqrt{u_3 u_4} + \dots + \sqrt{u_{2n-1} u_{2n}} = \sqrt{u_1 + u_3 + \dots + u_{2n-1}} \times \sqrt{u_2 + u_4 + \dots + u_{2n}}$.
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