Le produit vectoriel - Cours Maths 1ère Bac Sciences Mathématiques

I.Orientation de l’espace

1.Trièdre

Définition

Définition. Trois demi-droites $[Ox)$, $[Oy)$ et $[Oz)$ de même origine $O$ et non coplanaires déterminent, dans cet ordre un trièdre que l'on note $(Ox; Oy; Oz)$. $[Ox)$, $[Oy)$ et $[Oz)$ sont appelées les arêtes du trièdre $(Ox; Oy; Oz)$.

2.Bonhomme d’Ampère – Repère orienté de l’espace

Définition

Définition. Soit $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ un repère de l'espace $\mathcal{E}$. On pose : $\overrightarrow{OI} = \vec{i}$ et $\overrightarrow{OJ} = \vec{j}$ et $\overrightarrow{OK} = \vec{k}$.

Le bonhomme d'Ampère du trièdre $([OI); [OJ); [OK))$ est un personnage imaginaire porté sur l'axe $[OK)$, ses pieds sont à l'origine $O$ et regarde $[OI)$.
Le trièdre $([OI); [OJ); [OK))$ est dit direct (respectivement indirect) si le bonhomme d'ampère, traversé par le vecteur $\overrightarrow{OK}$ des pieds à la tête, regardant $\overrightarrow{OI}$ a le vecteur $\overrightarrow{OJ}$ à sa gauche (respectivement à sa droite).

Enfin, si le trièdre $([OI); [OJ); [OK))$ est direct, on dit aussi que le repère $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est direct et que la base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est directe. Dans le cas contraire, la base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est dite indirecte. [Figure: Représentation du bonhomme d'Ampère pour le trièdre direct et le trièdre indirect]

On dit que le repère $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est direct lorsque le trièdre $([OI); [OJ); [OK))$ est direct.
On dit que l'espace $\mathcal{E}$ est orienté positivement lorsqu'il est muni d'un repère direct.

Proposition

Proposition. Si le repère $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est orthonormal direct, alors :

Les repères $(O; \vec{j}; \vec{k}; \vec{i})$ et $(O; \vec{k}; \vec{i}; \vec{j})$ sont directs.
Les repères $(O; \vec{j}; \vec{i}; \vec{k})$, $(O; \vec{k}; \vec{j}; \vec{i})$ et $(O; \vec{i}; \vec{k}; \vec{j})$ sont indirects.
Les repères $(O; -\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$, $(O; \vec{i}; -\vec{j}; \vec{k})$ et $(O; \vec{i}; \vec{j}; -\vec{k})$ sont indirects.

Exemple

Exemple. Soit $ABCDEFGH$ un cube comme le montre la figure ci-contre.

La base $(\overrightarrow{BA}; \overrightarrow{BC}; \overrightarrow{BF})$ est orthonormée indirecte.
La base $(\overrightarrow{DH}; \overrightarrow{DA}; \overrightarrow{DC})$ est orthonormée directe.
La base $(\overrightarrow{FE}; \overrightarrow{FG}; \overrightarrow{FB})$ est orthonormée directe.
Le repère $(H; \overrightarrow{HG}; \overrightarrow{HE}; \overrightarrow{HD})$ est orthonormé direct.

Remarque

Remarque. Soit $O$ un point quelconque de l'espace $\mathcal{E}$. Alors :

(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k}) \text{ est un repère direct} \iff \text{La base } (\vec{i}; \vec{j}; \vec{k}) \text{ est directe}

II.Produit vectoriel de deux vecteurs

1.Définition du produit vectoriel

Définition

Définition. Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace orienté tels que : $\vec{u} = \overrightarrow{OA}$ et $\vec{v} = \overrightarrow{OB}$.

Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires, alors le produit vectoriel des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, dans cet ordre, noté $\vec{u} \wedge \vec{v}$, est le vecteur $\vec{w} = \overrightarrow{OC}$ défini par :
- la droite $(OC)$ est perpendiculaire au plan $(OAB)$ ;
- le trièdre $([OA); [OB); [OC))$ est direct ;
- $\|\overrightarrow{OC}\| = \|\overrightarrow{OA}\| \times \|\overrightarrow{OB}\| \times \sin \theta$ où $\theta = \widehat{AOB}$.
Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires, alors : $\vec{u} \wedge \vec{v} = \vec{0}$.

Remarque

Remarques.

Le produit vectoriel des vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne dépend pas du choix du point $O$.
Le produit vectoriel de deux vecteurs est un vecteur, tandis que le produit scalaire de deux vecteurs est un réel.
Si $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$, alors : $\vec{w} \perp \vec{u}$ et $\vec{w} \perp \vec{v}$ et $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \left| \sin (\overline{\vec{u};\vec{v}}) \right|$.
Si $\vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{v}$, alors la base $(\vec{u}; \vec{v}; \vec{u} \wedge \vec{v})$ est directe. En particulier, si les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont unitaires et orthogonaux, alors $(\vec{u}; \vec{v}; \vec{u} \wedge \vec{v})$ est une base orthonormée directe.
Pour tout vecteur $\vec{u} \in \mathcal{V}_3$ : $\vec{u} \wedge \vec{u} = \vec{0}$ et $\vec{u} \wedge \vec{0} = \vec{0}$.
Les points $A$, $B$ et $C$ de l'espace $\mathcal{E}$ sont alignés si, et seulement si : $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \vec{0}$.

Exemple

Exemples.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace orienté tels que : $\|\vec{u}\| = 3$ et $\|\vec{v}\| = 4$ et $(\overline{\vec{u};\vec{v}}) \equiv \frac{\pi}{6} \; [2\pi]$. Calculons $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$ : On a : $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \left| \sin (\overline{\vec{u};\vec{v}}) \right| = 3 \times 4 \times \frac{1}{2} = 6$. Ainsi : $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = 6$
Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace tels que : $\|\vec{u}\| = 2$ et $\|\vec{v}\| = 5$ et $\vec{u}.\vec{v} = 5$. Calculons $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\|$ : Soit $\theta$ une mesure de l'angle $(\overline{\vec{u};\vec{v}})$. On a : $\cos \theta = \frac{\vec{u}.\vec{v}}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} = \frac{1}{2}$ et $|\sin \theta| = \sqrt{1 – \cos^2 \theta} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Il s'ensuit donc : $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \left| \sin (\overline{\vec{u};\vec{v}}) \right| = 2 \times 5 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}$. Ainsi : $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = 5\sqrt{3}$.

Application

Applications.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace orienté tels que : $\|\vec{u}\| = \sqrt{2}$ et $\|\vec{u} \wedge \vec{v}\| = 4$ et $(\overline{\vec{u};\vec{v}}) \equiv \frac{\pi}{4} \; [2\pi]$. Calculer $\|\vec{v}\|$.
Soit $\vec{a}$ et $\vec{b}$ deux vecteurs de l'espace orienté tels que : $\|\vec{a}\| = 4$ et $\|\vec{b}\| = 9$ et $\vec{a}.\vec{b} = 18\sqrt{3}$. Calculer $\|\vec{a} \wedge \vec{b}\|$.

2.Interprétation géométrique du produit vectoriel

Exemple

Exemple. Soit $ABCD$ un parallélogramme tel que : $AB = 6$ et $AD = 4$ et $\widehat{BAD} = \frac{\pi}{6}$ rad. En notant $\mathcal{A}$ l'aire du parallélogramme $ABCD$ (en unité d'aire), on obtient :

\mathcal{A} = \|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AD}\| = AB \times AD \times \sin \widehat{BAD} = 6 \times 4 \times \frac{1}{2} = 12

III.Propriétés du produit vectoriel

1.Antisymétrie du produit vectoriel

Proposition

Proposition. Pour tous vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace orienté, on a : $\vec{v} \wedge \vec{u} = – \vec{u} \wedge \vec{v}$. On dit que le produit vectoriel est antisymétrique.

2.Bilinéarité du produit vectoriel

Proposition

Proposition. Soit $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ trois vecteurs de l'espace orienté et $\alpha$ un nombre réel. Alors :

$\vec{u} \wedge (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \wedge \vec{v} + \vec{u} \wedge \vec{w}$
$(\vec{u} + \vec{v}) \wedge \vec{w} = \vec{u} \wedge \vec{w} + \vec{v} \wedge \vec{w}$
$\vec{u} \wedge (\alpha \vec{v}) = (\alpha \vec{u}) \wedge \vec{v} = \alpha (\vec{u} \wedge \vec{v})$

On dit que le produit vectoriel est bilinéaire.

Exemple

Exemples.

Soit $O$, $A$, $B$ et $C$ des points de l'espace orienté $\mathcal{E}$. Montrons que : $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OA}$ On a : $\begin{aligned}\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} &= (\overrightarrow{OB} – \overrightarrow{OA}) \wedge (\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OA}) \\ &= \overrightarrow{OB} \wedge (\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OA}) – \overrightarrow{OA} \wedge (\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OA}) \\ &= \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OB} \wedge (-\overrightarrow{OA}) – \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OA} \wedge (-\overrightarrow{OA}) \\ &= \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OA} – \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OA}\end{aligned}$ Comme $\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OA} = \vec{0}$, il résulte de l'antisymétrie du produit vectoriel que : $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB} \wedge \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OC} \wedge \overrightarrow{OA}$
L'espace est rapporté à un repère orthonormé direct $(O; \vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$. On pose : $\vec{u} = (2\vec{i} + 3\vec{j}) \wedge (-\vec{i} + \vec{k})$. On a : $\begin{aligned}\vec{u} &= 2\vec{i} \wedge (-\vec{i}) + 2\vec{i} \wedge \vec{k} + 3\vec{j} \wedge (-\vec{i}) + 3\vec{j} \wedge \vec{k} \\ &= -2(\vec{i} \wedge \vec{i}) + 2(\vec{i} \wedge \vec{k}) – 3(\vec{j} \wedge \vec{i}) + 3(\vec{j} \wedge \vec{k})\end{aligned}$ Par conséquent : $\vec{u} = 3\vec{i} – 2\vec{j} + 3\vec{k}$.

3.Expression analytique du produit vectoriel

Proposition

Proposition. L'espace $\mathcal{V}_3$ est rapporté à une base orthonormée directe $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$. Soit $\vec{u}(x;y;z)$ et $\vec{v}(x';y';z')$ deux vecteurs de l'espace $\mathcal{V}_3$. Alors :

\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{i} – \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \vec{k}

Preuve

Preuve. On a : $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$ et $\vec{v} = x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}$. En tenant compte du fait que $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ est une base orthonormée directe, il en résulte de la bilinéarité du produit vectoriel :

\begin{aligned}\vec{u} \wedge \vec{v} &= (x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}) \wedge (x'\vec{i} + y'\vec{j} + z'\vec{k}) \\ &= xx'(\vec{i} \wedge \vec{i}) + xy'(\vec{i} \wedge \vec{j}) + xz'(\vec{i} \wedge \vec{k}) + yx'(\vec{j} \wedge \vec{i}) + yy'(\vec{j} \wedge \vec{j}) + \\ & + yz'(\vec{j} \wedge \vec{k}) + zx'(\vec{k} \wedge \vec{i}) + zy'(\vec{k} \wedge \vec{j}) + zz'(\vec{k} \wedge \vec{k}) \\ &= xy'(\vec{i} \wedge \vec{j}) + xz'(\vec{i} \wedge \vec{k}) + yx'(\vec{j} \wedge \vec{i}) + yz'(\vec{j} \wedge \vec{k}) + zx'(\vec{k} \wedge \vec{i}) + zy'(\vec{k} \wedge \vec{j}) \\ &= (yz' – y'z)(\vec{j} \wedge \vec{k}) + (zx' – xz')(\vec{k} \wedge \vec{i}) + (xy' – x'y)(\vec{i} \wedge \vec{j}) \\ &= (yz' – y'z)\vec{i} – (xz' – zx')\vec{j} + (xy' – x'y)\vec{k}\end{aligned}

Par suite :

\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} y & y' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{i} – \begin{vmatrix} x & x' \\ z & z' \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} x & x' \\ y & y' \end{vmatrix} \vec{k}

Exemple

Exemple. On considère les vecteurs : $\vec{u} = \vec{i} – 2\vec{j} + 3\vec{k}$ et $\vec{v} = 3\vec{i} + \vec{j} – \vec{k}$ Déterminons les coordonnées de vecteur $\vec{u} \wedge \vec{v}$ dans la base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$ : On a :

\vec{u} \wedge \vec{v} = \begin{vmatrix} -2 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \vec{i} – \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ -2 & 1 \end{vmatrix} \vec{k}

Par suite : $\vec{u} \wedge \vec{v} = -\vec{i} + 10\vec{j} + 7\vec{k}$

Application

Applications.

On considère les vecteurs : $\vec{u} = 2\vec{i} – \vec{j}$ ; $\vec{v} = \vec{i} – \vec{j} + 2\vec{k}$ ; $\vec{w} = \vec{j} + \vec{k}$ Déterminer, dans la base $(\vec{i}; \vec{j}; \vec{k})$, les coordonnées de chacun des vecteurs : $\vec{u} \wedge \vec{v}$ et $\vec{u} \wedge \vec{w}$.
Dans l'espace $\mathcal{E}$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points : $\[A(1;2;3) ; B(0;-1;2) ; C(3;-2;1)\]$ Calculer : $\overrightarrow{OA} \wedge \overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{BC}$.

IV.Applications du produit vectoriel

1.Aire d’un triangle

Proposition

Proposition. Soit $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés de l'espace orienté $\mathcal{E}$. L'aire du triangle $ABC$ est :

S_{ABC} = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}\|

Exemple

Exemple. Dans l'espace $\mathcal{E}$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points :

\[A(2;4;-5) ; B(1;0;4) ; C(0;3;1)\]

On a : $\overrightarrow{AB}(-1;-4;9)$ et $\overrightarrow{AC}(-2;-1;6)$ et donc : $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} -4 & -1
9 & 6 \end{vmatrix} \vec{i} – \begin{vmatrix} -1 & -2
9 & 6 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} -1 & -2
-4 & -1 \end{vmatrix} \vec{k}$ Par conséquent : $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = -15\vec{i} – 12\vec{j} – 7\vec{k}$. Puisque $\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} \neq \vec{0}$, alors les points $A$, $B$ et $C$ ne sont pas alignés. L'aire du triangle $ABC$ est : $S_{ABC} = \frac{1}{2} \sqrt{(-15)^2 + (-12)^2 + (-7)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{418}$.

Application

Applications. Calculer l'aire du triangle $ABC$ dans chacun des cas suivants :

$1^{\text{er}}$ cas : $A(-1;2;1) ; B(-1;0;2) ; C(2;-1;0)$.
$2^{\text{nd}}$ cas : $A(2;1;-1) ; B(0;4;1) ; C(3;1;-2)$.

2.Équation d’un plan défini par trois points non alignés

Proposition

Proposition. Soit $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés de l'espace orienté $\mathcal{E}$. On a :

M \in (ABC) \iff \overrightarrow{AM} . (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) = 0

Preuve

Preuve. Le vecteur $\vec{n} = \overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}$ étant normal au plan $(ABC)$ car $\vec{n} \perp \overrightarrow{AB}$ et $\vec{n} \perp \overrightarrow{AC}$. Il s'ensuit donc :

M \in (ABC) \iff \overrightarrow{AM} . \vec{n} = 0 \iff \overrightarrow{AM} . (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) = 0

Exemple

Exemple. Dans l'espace $\mathcal{E}$ rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$, on considère les points :

\[A(1;-1;0) ; B(2;-2;3) ; C(3;1;1)\]

On a : $\overrightarrow{AB}(1;-1;3)$ et $\overrightarrow{AC}(2;2;1)$. Par conséquent :

\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \vec{i} – \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} \vec{k} = -7\vec{i} + 5\vec{j} + 4\vec{k}

Soit $M(x;y;z)$ un point de l'espace $\mathcal{E}$. On a :

M \in (ABC) \iff \overrightarrow{AM} . (\overrightarrow{AB} \wedge \overrightarrow{AC}) = 0 \iff -7(x-1) + 5(y+1) + 4z = 0

Par suite, une équation cartésienne du plan $(ABC)$ est : $(ABC) : -7(x-1) + 5(y+1) + 4z = 0$

Application

Applications.

Déterminer une équation cartésienne du plan $(ABC)$ dans chacun des cas suivants : $1^{\text{er}}$ cas : $A(-1;2;1) ; B(-1;0;2) ; C(2;-1;0)$. $2^{\text{nd}}$ cas : $A(1;3;5) ; B(0;0;1) ; C(1;3;5)$.
On considère les deux points : $E(3;-1;1)$ et $F(1;0;3)$. Déterminer une équation cartésienne du plan $(OEF)$.

3.Intersection de deux plans de l’espace

Proposition

Proposition. Soit $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ deux plans sécants suivant une droite $\mathcal{D}$ dans l'espace orienté $\mathcal{E}$. Si $\vec{n}$ est un vecteur normal de $\mathcal{P}$ et $\vec{n}'$ est un vecteur normal de $\mathcal{P}'$, alors $\vec{n} \wedge \vec{n}'$ est un vecteur directeur de la droite d'intersection $\mathcal{D}$.

Exemple

Exemple. Déterminons l'intersection des plans : $\mathcal{P} : x – y + 2z + 1 = 0$ et $\mathcal{P}' : 2x + y – z + 2 = 0$. On a : $\vec{n}(1;-1;2)$ et $\vec{n}'(2;1;-1)$ sont des vecteurs normaux respectivement aux plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. De plus : $\vec{u} = \vec{n} \wedge \vec{n}' = \begin{vmatrix} -1 & 1
2 & -1 \end{vmatrix} \vec{i} – \begin{vmatrix} 1 & 2
2 & -1 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} 1 & 2
-1 & 1 \end{vmatrix} \vec{k}$. Ainsi, le vecteur $\vec{u} = -\vec{i} + 5\vec{j} + 3\vec{k}$ est un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$ intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$. La droite $\mathcal{D}$ passe par le point $A(-1;0;0)$ (en prenant $z = 0$). Par suite :

\mathcal{D} : \begin{cases} x = -1 – t \\ y = 5t \\ z = 3t \end{cases} (t \in \mathbb{R}) \text{ une représentation paramétrique de la droite } \mathcal{D} \text{ intersection des plans } \mathcal{P} \text{ et } \mathcal{P}'.

Application

Applications. Déterminer l'intersection des plans $\mathcal{P}$ et $\mathcal{P}'$ dans chacun des cas suivants :

$1^{\text{er}}$ cas : $\mathcal{P} : x – y + 2z + 3 = 0$ et $\mathcal{P}' : x + 2y + 2z – 1 = 0$.
$2^{\text{nd}}$ cas : $\mathcal{P} : 3x – 4y + 5z + 7 = 0$ et $\mathcal{P}' : 2x – 3y – z – 4 = 0$.

4.Distance d’un point à une droite

Proposition

Proposition. L'espace $\mathcal{E}$ est rapporté à un repère orthonormé direct $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par $A$ et dirigée par le vecteur $\vec{u}$. La distance d'un point $M$ de l'espace à la droite $\mathcal{D}$ est donnée par :

d(M; \mathcal{D}) = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}

Preuve

Preuve. On pose : $\vec{u} = \overrightarrow{AB}$ un vecteur directeur de la droite $\mathcal{D}$. Soit $M$ un point de l'espace $\mathcal{E}$ et $H$ son projeté orthogonal sur la droite $\mathcal{D}$. L'aire du triangle $ABM$ est : $S = \frac{1}{2} \|\overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{AB}\|$ et on a : $S = \frac{1}{2} AB \times MH$. Par conséquent : $AB \times MH = \|\overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{AB}\|$ c'est-à-dire : $MH = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \overrightarrow{AB}\|}{AB}$. Par suite : $d(M; \mathcal{D}) = \frac{\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\|}{\|\vec{u}\|}$

Exemple

Exemple. Calculer la distance du point $M(-1;0;1)$ à la droite $\mathcal{D}$ définie par :

\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = -1 – t \\ z = 2t \end{cases} (t \in \mathbb{R})

La droite $\mathcal{D}$ passe par le point $A(1;-1;0)$ et est dirigée par le vecteur $\vec{u}(2;-1;2)$. Puisque $\overrightarrow{AM}(-2;1;1)$ et $\vec{u}(2;-1;2)$, alors : $\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u} = \begin{vmatrix} 1 & -1
1 & 2 \end{vmatrix} \vec{i} – \begin{vmatrix} -2 & 2
1 & 2 \end{vmatrix} \vec{j} + \begin{vmatrix} -2 & 2
1 & -1 \end{vmatrix} \vec{k} = 3\vec{i} + 6\vec{j}$. On a donc : $\|\overrightarrow{AM} \wedge \vec{u}\| = \sqrt{9 + 36} = 3\sqrt{5}$ et $\|\vec{u}\| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$. Ainsi : $d(M; \mathcal{D}) = \sqrt{5}$.

Application

Applications. Calculer la distance du point $M$ à la droite $\mathcal{D}$ dans chacun des cas suivants :

$1^{\text{er}}$ cas : $M(3;2;1)$ et $\mathcal{D} : \begin{cases} x = 1 – t
y = 1
z = t \end{cases} (t \in \mathbb{R})$.
$2^{\text{nd}}$ cas : $M(3;-1;1)$ et $\mathcal{D} : \begin{cases} x – y = 1
y + z = 2 \end{cases}$.