Définition.
Soit $A$ un point du plan et $\alpha$ un nombre réel.
Le couple $(A; \alpha)$ est appelé un point pondéré. $\alpha$ est le poids (ou coefficient) du point $A$.
Exemple
Exemples.
$(A; 2)$ est un point pondéré de poids $2$.
$(B; -3)$ est un point pondéré de poids $-3$.
$\left(G; \dfrac{1}{2}\right)$ est un point pondéré de poids $\dfrac{1}{2}$.
2.BARYCENTRE DE DEUX POINTS PONDÉRÉS
Activité
Activité.
Soit $A$ et $B$ deux points du plan et $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels. On associe à chaque point $M$ du plan le vecteur $f(M) = \alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB}$.
Simplifier l'expression $f(M)$ lorsque $\alpha + \beta = 0$. Que peut-on dire du vecteur $f(M)$ ?
On suppose dans cette question que $\alpha + \beta \neq 0$.
Soit $G$ le point du plan tel que : $f(G) = \vec{0}$.
Montrer que : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}$. En déduire que le point $G$ est unique.
Représenter les points $A$, $B$ et $G$ pour $\alpha=1$ et $\beta=3$.
Représenter les points $A$, $B$ et $G$ pour $\alpha=1$ et $\beta=-3$.
Définition
Définition.
Soit $(A; \alpha)$ et $(B; \beta)$ deux points pondérés du plan tels que $\alpha + \beta \neq 0$.
Il existe un point unique $G$ vérifiant l'égalité : $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = \vec{0}$.
Le point $G$ s'appelle le barycentre des points pondérés $(A; \alpha)$ et $(B; \beta)$.
On dit aussi que le point $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$.
Exemple
Exemples.
Soit $A$ et $B$ deux points du plan et $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A; 3); (B; 1)\}$.
L'égalité $3\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}$ s'écrit $3\overrightarrow{GA} + (\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB}) = \vec{0}$ d'après la relation de Chasles.
Ce qui donne : $4\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{AB} = \vec{0}$ ou $4\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB}$, c'est-à-dire $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{4}\overrightarrow{AB}$.
Déterminons le point $H$ barycentre des points pondérés $(A; 4)$ et $(B; -3)$ :
On a : $4\overrightarrow{HA} – 3\overrightarrow{HB} = \vec{0}$, donc $4\overrightarrow{HA} – 3(\overrightarrow{HA} + \overrightarrow{AB}) = \vec{0}$, par conséquent : $\overrightarrow{AH} = -3\overrightarrow{AB}$.
Dans le cas où $\alpha + \beta = 0$, c'est-à-dire $\alpha = -\beta$, la relation $-\beta\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = \vec{0}$ se traduit par : $\beta(\overrightarrow{GA} – \overrightarrow{GB}) = \vec{0}$, soit $\beta\overrightarrow{BA} = \vec{0}$ et par suite $\overrightarrow{BA} = \vec{0}$ ($\beta \neq 0$), ce qui nécessite $A=B$, dans ce cas l'égalité $-\beta\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GA} = \vec{0}$ est vraie pour tout point $G$. Le barycentre n'est pas défini.
Remarque
Remarques.
L'égalité $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = \vec{0}$ implique que les vecteurs $\overrightarrow{GA}$ et $\overrightarrow{GB}$ sont colinéaires et, par conséquent, le barycentre $G$ des points pondérés $(A; \alpha)$ et $(B; \beta)$ appartient à la droite $(AB)$.
Si $A$ et $B$ sont distincts et $\alpha = \beta \neq 0$, le point $G$ est appelé l'isobarycentre de $A$ et $B$ et l'égalité $\alpha\overrightarrow{GA} + \alpha\overrightarrow{GB} = \vec{0}$ s'écrit $\alpha(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB}) = \vec{0}$. Puisque $\alpha \neq 0$, on obtient $\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} = \vec{0}$.
On en déduit que l'isobarycentre de deux points $A$ et $B$ n'est que le milieu du segment $[AB]$.
Propriété
Propriété (Homogénéité du barycentre).
Si le point $G$ est le barycentre des points pondérés $(A; \alpha)$ et $(B; \beta)$ alors le point $G$ est aussi le barycentre des points pondérés $(A; k\alpha)$ et $(B; k\beta)$ pour tout réel $k$ non nul.
Exemple
Exemples.
Le barycentre du système pondéré $\{(A; 100); (B; 300)\}$ est le barycentre du système $\{(A; 1); (B; 3)\}$ ou encore de $\left\{\left(A; \dfrac{1}{4}\right); \left(B; \dfrac{3}{4}\right)\right\}$.
Le barycentre du système pondéré $\left\{\left(A; \dfrac{1}{2}\right); \left(B; \dfrac{2}{3}\right)\right\}$ est le barycentre du système $\{(A; 3); (B; 4)\}$.
Application
Application.
Soit $A$ et $B$ deux points distincts.
Déterminer le réel $\beta$ pour que le point $G$ défini par la relation : $\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ soit le barycentre du système pondéré $\{(A; 1); (B; \beta)\}$.
On considère le point $M$ de la droite $(AB)$ défini par la relation : $\overrightarrow{AM} = t\overrightarrow{AB}$ avec $t$ un nombre réel tel que $t \neq 1$.
Exprimer le point $M$ comme barycentre des points $A$ et $B$ affectés des coefficients à déterminer en fonction de $t$.
Que deviennent ces coefficients pour $t = \dfrac{2}{7}$ ?
Soit $P$ le barycentre du système pondéré $\{(A; 4); (B; 5)\}$. Déterminer un nombre réel $x$ tel que $\overrightarrow{PB} = x\overrightarrow{PA}$.
Soit $H$ un point de la droite $(AB)$ tel que $3\overrightarrow{HA} + 7\overrightarrow{BH} = \vec{0}$.
Déterminer un réel $y$ pour que le point $H$ soit le barycentre du système pondéré $\{(A; -3); (B; y)\}$.
3.POSITION DU BARYCENTRE
Propriété
Propriété.
Soit $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$.
Si $\alpha$ et $\beta$ sont de même signe (c'est-à-dire $\alpha\beta > 0$), alors $G \in [AB]$.
Si $\alpha$ et $\beta$ sont de signes contraires (c'est-à-dire $\alpha\beta < 0$), alors $G \notin [AB]$.
Preuve
Preuve.
L'égalité $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = \vec{0}$ s'écrit aussi $\alpha\overrightarrow{GA} = -\beta\overrightarrow{GB}$, par conséquent $\alpha\overrightarrow{AG} = \beta\overrightarrow{GB}$.
Si $\alpha\beta > 0$, alors $\dfrac{\beta}{\alpha} > 0$, la relation $\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha}\overrightarrow{GB}$ implique que les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{GB}$ ont même sens, ce qui entraîne que $G \in [AB]$.
Si $\alpha\beta < 0$, alors $\dfrac{\beta}{\alpha} < 0$, la relation $\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha}\overrightarrow{GB}$ implique que les vecteurs $\overrightarrow{AG}$ et $\overrightarrow{GB}$ sont de sens contraires, d'où $G \notin [AB]$.
Exemple
Exemples.
Soit $A$ et $B$ deux points du plan.
$G_1$ est le barycentre de $\{(A; 5); (B; 2)\}$. $\overrightarrow{AG_1} = \dfrac{2}{7}\overrightarrow{AB}$.
$G_2$ est le barycentre de $\{(A; 3); (B; -1)\}$. $\overrightarrow{AG_2} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
Remarque
Remarques.
Soit $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$. (On suppose que la somme $\alpha + \beta$ est constante).
Si $\alpha$ et $\beta$ sont de même signe (c'est-à-dire $\alpha\beta > 0$), et plus le coefficient $\alpha$ est grand, plus le barycentre $G$ se rapproche du point $A$, et inversement.
Application
Applications.
On considère deux points $A$ et $B$ tels que $AB=10$.
Trouver deux nombres $\alpha$ et $\beta$ dont la somme est égale à $10$ de façon que le barycentre $G$ de $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$ vérifie la relation $AG=4$.
Déterminer deux nombres $\alpha$ et $\beta$ sachant que leur différence $\alpha-\beta$ est égale à $10$ et que le barycentre $G$ de $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$ vérifie la relation $AG=4$.
Un point $G$ appartient à la droite $(AB)$ et n'appartient pas au segment $[AB]$.
Déterminer la position du point $G$ sachant qu'il est le barycentre du système $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$ et que $\alpha^2 – \beta^2 = \alpha+\beta$.
4.PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DU BARYCENTRE
Proposition
Proposition.
Soit $(A; \alpha)$ et $(B; \beta)$ deux points pondérés tels que $\alpha + \beta \neq 0$.
Le point $G$ est le barycentre de $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$ si, et seulement si, pour tout point $M$ du plan $\mathcal{P}$ on a :
Comme $G$ est le barycentre de $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$, alors $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = \vec{0}$, d'où $\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} = (\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}$.
Inversement, s'il existe un point $G$ tel que, pour tout point $M \in \mathcal{P}$ : $\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} = (\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}$. En particulier pour $M = G$, on a : $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = (\alpha+\beta)\overrightarrow{GG} = \vec{0}$, d'où $G$ est le barycentre de $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$.
Remarque
Remarques.
Une conséquence immédiate de la proposition précédente est la suivante :
Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si, et seulement si, pour tout point $M$ du plan $\mathcal{P}$ : $\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}$.
Si l'égalité $\alpha\overrightarrow{NA} + \beta\overrightarrow{NB} = (\alpha+\beta)\overrightarrow{NG}$ est valable pour un point $N$ du plan, alors $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$ et la relation $\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} = (\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}$ est valable pour tout point $M$ du plan $\mathcal{P}$.
Exemple
Exemples.
1) Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A; 2)$ et $(B; 1)$.
Construisons le point $G$ et l'ensemble $(E)$ des points $M$ du plan $\mathcal{P}$ tels que : $\left\|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right\| = AB$.
On a d'abord $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$ ce qui nous permet de construire le point $G$.
D'après la propriété caractéristique du barycentre, on a pour tout $M \in \mathcal{P}$ : $2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MG}$
Par conséquent : $M \in (E) \iff 3MG = AB \iff MG = \dfrac{AB}{3}$.
Par suite, l'ensemble $(E)$ est le cercle de centre $G$ et de rayon $\dfrac{AB}{3}$.
2) Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Déterminons l'ensemble $(D)$ des points $M$ du plan $\mathcal{P}$ tels que : $\left\|3\overrightarrow{MA} – 5\overrightarrow{MB}\right\| = \left\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right\|$.
Soit $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A; 3); (B; -5)\}$ et $I$ le milieu du segment $[AB]$.
D'après la propriété caractéristique du barycentre, on a pour tout point $M$ du plan $\mathcal{P}$ :
Par conséquent : $M \in (D) \iff \left\|-2\overrightarrow{MG}\right\| = \left\|2\overrightarrow{MI}\right\| \iff 2MG = 2MI \iff MG = MI$.
Ainsi, l'ensemble $(D)$ est la médiatrice du segment $[GI]$.
Application
Applications.
1. Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan $\mathcal{P}$. Déterminer l'ensemble des points $M$ de $\mathcal{P}$ tels que :
a) $\left\|7\overrightarrow{MA} – 3\overrightarrow{MB}\right\| = 3AB $; b) $\left\|2\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MB}\right\| = MA $; c) $\left\|5\overrightarrow{MA} – 7\overrightarrow{MB}\right\| \leq \left\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\right\|$
2. Soit $ABC$ un triangle. On considère le point $G$ barycentre des points pondérés $(A; 2)$ et $(B; 3)$.
a) Construire le point $G$ puis simplifier la somme vectorielle $2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}$ où $M$ un point du plan.
b) Déterminer et tracer l'ensemble $(D)$ des points $M$ tels que $2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB}$ et $\overrightarrow{AC}$ soient colinéaires.
3. Soit $ABCD$ un carré de côté $a$.
Déterminer et construire chacun des ensembles suivants :
\[E_5 = \left\{ M \in \mathcal{P} \ / \ 2\overrightarrow{MA} + 3\overrightarrow{MB} \text{ est colinéaire à } \overrightarrow{MC} + \overrightarrow{MD} \right\}.\]
5.COORDONNÉES DU BARYCENTRE
Proposition
Proposition.
Soit $(O; \vec{i}, \vec{j})$ un repère du plan.
Si $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$ alors : $\overrightarrow{OG} = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\overrightarrow{OA} + \dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{OB}$
Si $A(x_A; y_A)$ et $B(x_B; y_B)$ alors le couple de coordonnées de $G$ est : $G\left(\dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha+\beta}; \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha+\beta}\right)$.
Exemple
Exemples.
1) Dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ du plan, on considère les points $A(3; 2)$ et $B(4; 1)$ et soit $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A; 1); (B; -5)\}$. Le couple de coordonnées du point $G$ est donné par :
\[\begin{cases}
x_G = \dfrac{-x_A + 5x_B}{4} \\
y_G = \dfrac{-y_A + 5y_B}{4}
\end{cases}
\text{ce qui donne : }
\begin{cases}
x_G = \dfrac{17}{4} \\
y_G = \dfrac{3}{4}
\end{cases}
\text{. Par suite : } G\left(\dfrac{17}{4}; \dfrac{3}{4}\right).\]
2) Soit $ABC$ un triangle et $I$ le barycentre du système pondéré $\{(B; 4); (C; -3)\}$. Donc : $\overrightarrow{AI} = 4\overrightarrow{AB} – 3\overrightarrow{AC}$, par conséquent, le couple de coordonnées de $I$ dans le repère $(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ est $I(4; -3)$.
Application
Applications.
1. Dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points : $B(2; 5)$ et $C(5; 2)$.
Soit $H$ le barycentre des points pondérés $(B; 2)$ et $(C; 1)$.
a) Déterminer les coordonnées du point $H$.
b) Soit $G$ le point du plan tel que $H$ soit le barycentre des points pondérés $(G; 2)$ et $(O; 1)$.
Déterminer les coordonnées du point $G$.
2. Soit $ABCD$ un parallélogramme et $E$ le barycentre du système pondéré $\{(B; 2); (D; -1)\}$.
Déterminer les coordonnées du point $E$ dans le repère $(B; \overrightarrow{BA}, \overrightarrow{BC})$.
II.BARYCENTRE DE TROIS POINTS PONDÉRÉS
1.BARYCENTRE DE TROIS POINTS PONDÉRÉS
Définition
Définition.
Soit $(A; \alpha)$, $(B; \beta)$ et $(C; \gamma)$ trois points pondérés du plan tels que : $\alpha + \beta + \gamma \neq 0$.
Il existe un unique point $G$ vérifiant l'égalité : $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} + \gamma\overrightarrow{GC} = \vec{0}$.
Le point $G$ est appelé le barycentre des points pondérés $(A; \alpha)$, $(B; \beta)$ et $(C; \gamma)$. On dit aussi que $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta); (C; \gamma)\}$.
Exemple
Exemples.
1) Soit $A, B$ et $C$ trois points du plan et $G$ le barycentre des points pondérés $(A; 1)$, $(B; -1)$ et $(C; 2)$.
Le point $G$ vérifie l'égalité $\overrightarrow{GA} – \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = \vec{0}$, d'où $\overrightarrow{BA} + 2\overrightarrow{GC} = \vec{0}$, c'est-à-dire : $\overrightarrow{CG} = -\dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB}$.
2) Soit $H$ le barycentre des points pondérés $(A; -3)$, $(B; 4)$ et $(C; -2)$ (la somme des poids est non nulle).
On a : $-3\overrightarrow{HA} + 4\overrightarrow{HB} – 2\overrightarrow{HC} = \vec{0}$, donc : $-3\overrightarrow{HA} + 4(\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AH}) – 2(\overrightarrow{AH} – \overrightarrow{AC}) = \vec{0}$, d'où : $\overrightarrow{AH} + 4\overrightarrow{AB} – 2\overrightarrow{AC} = \vec{0}$, c'est-à-dire : $\overrightarrow{AH} = -4\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}$.
Application
Applications.
1. Soit $A, B, C$ et $D$ des points du plan tels que : $7\overrightarrow{BD} + 4\overrightarrow{AB} – 5\overrightarrow{AC} = \vec{0}$.
Montrer que le point $D$ est le barycentre des points $A, B$ et $C$ en déterminant le poids de chacun d'eux.
2. On considère l'égalité vectorielle : $3\overrightarrow{GA} + 2\overrightarrow{GB} + 5\overrightarrow{GC} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}$.
Montrer que le point $G$ est le barycentre des points pondérés $(A; 1)$, $(B; \beta)$ et $(C; \gamma)$ où $\beta$ et $\gamma$ sont des réels à déterminer.
3. Soit $ABC$ un triangle et $I$ le milieu du segment $[AB]$. Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A; 2)$, $(B; 2)$ et $(C; -1)$. Montrer que : $G \in (IC)$.
4. Soit $ABC$ un triangle et $G$ le point figuré dans le dessin ci-contre :
Montrer que $G$ est le barycentre du système pondéré : $\{(A; 3); (B; 2); (C; 1)\}$.
2.HOMOGÉNÉITÉ DU BARYCENTRE
Proposition
Proposition.
Si $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta); (C; \gamma)\}$ alors $G$ est aussi le barycentre du système pondéré $\{(A; k\alpha); (B; k\beta); (C; k\gamma)\}$ pour tout réel $k$ non nul. En d'autres termes : le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on multiplie ou on divise ses coefficients par un même nombre réel non nul. Cette propriété s'appelle « homogénéité du barycentre ».
Exemple
Exemple.
Les points pondérés $\left(A; \dfrac{1}{400}\right)$, $\left(B; -\dfrac{1}{300}\right)$ et $\left(C; \dfrac{1}{600}\right)$ ont le même barycentre que les points pondérés $(A; 3), (B; -4)$ et $(C; 2)$ car :
$\dfrac{1}{400} \times 1200 = 3$ \ , \ $-\dfrac{1}{300} \times 1200 = -4$ \ et \ $\dfrac{1}{600} \times 1200 = 2$.
Remarque
Remarques.
Si $G$ est barycentre des points pondérés $(A; \alpha), (B; \alpha)$ et $(C; \alpha)$ (même poids) alors $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$.
Si $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta); (C; \gamma)\}$ alors $G$ est aussi le barycentre du système pondéré $\left\{\left(A; \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}\right); \left(B; \dfrac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\right); \left(C; \dfrac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\right)\right\}$ avec :
donc, lors d'une étude de barycentre de trois points pondérés, on peut supposer que la somme de leurs poids égale à $1$ et considérer les poids $\alpha', \beta'$ et $1-\alpha'-\beta'$ avec $(\alpha'; \beta') \in \mathbb{R}^2$.
3.PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DU BARYCENTRE
Proposition
Proposition.
Soit $(A; \alpha), (B; \beta)$ et $(C; \gamma)$ trois points pondérés du plan tels que $\alpha+\beta+\gamma \neq 0$.
Le point $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta); (C; \gamma)\}$ si, et seulement si, pour tout point $M$ du plan $\mathcal{P}$ :
C'est-à-dire : $\overrightarrow{MG} = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta+\gamma}\overrightarrow{MA} + \dfrac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\overrightarrow{MB} + \dfrac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\overrightarrow{MC}$
Ce résultat traduit : « la propriété caractéristique du barycentre ».
Remarque
Remarques.
En considérant $M = A$, on trouve : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{\alpha+\beta+\gamma}\left(\beta\overrightarrow{AB} + \gamma\overrightarrow{AC}\right)$.
Si l'égalité $\alpha\overrightarrow{NA} + \beta\overrightarrow{NB} + \gamma\overrightarrow{NC} = (\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{NG}$ est valable pour un point $N$ du plan, alors $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta); (C; \gamma)\}$.
La propriété caractéristique du barycentre est parfois utilisée pour la recherche des points $P$ du plan vérifiant une relation du genre : $\alpha\overrightarrow{PA} + \beta\overrightarrow{PB} + \gamma\overrightarrow{PC} = \vec{v}$ avec $\alpha+\beta+\gamma \neq 0$ et $\vec{v}$ un vecteur donné.
Exemple
Exemple.
Soit $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A; 1); (B; 1); (C; -1)\}$.
Déterminons l'ensemble $\mathcal{D}$ des points $M$ du plan $\mathcal{P}$ tels que : $\left\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MC}\right\| = MC$.
D'après la propriété caractéristique du barycentre, on a pour tout $M \in \mathcal{P}$ :
$\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} – \overrightarrow{MC} = (1+1-1)\overrightarrow{MG} = \overrightarrow{MG}$. Par conséquent : $M \in \mathcal{D} \iff MG = MC$.
Par suite, l'ensemble $\mathcal{D}$ est la médiatrice du segment $[GC]$.
Le dessin :
On a : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{1+1-1}\overrightarrow{AB} + \dfrac{-1}{1+1-1}\overrightarrow{AC}$
Donc : $\overrightarrow{AG} = \overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{CB}$.
4.ASSOCIATIVITÉ DU BARYCENTRE
Proposition
Proposition.
Soit $(A; \alpha)$, $(B; \beta)$ et $(C; \gamma)$ trois points pondérés du plan tels que $\alpha+\beta+\gamma \neq 0$ et $\alpha+\beta \neq 0$.
Si $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta); (C; \gamma)\}$, alors $G$ est aussi le barycentre du système pondéré $\{(H; \alpha+\beta); (C; \gamma)\}$ où $H$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$.
En d'autres termes : Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si on remplace deux d'entre eux par leur barycentre partiel (s'il existe) affecté de la somme des deux poids.
Preuve
Preuve.
Soit $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta); (C; \gamma)\}$ et $H$ celui du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$. (On a supposé ici que $\alpha+\beta+\gamma \neq 0$ et $\alpha+\beta \neq 0$).
On a par définition : $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} + \gamma\overrightarrow{GC} = \vec{0}$. D'après la propriété caractéristique du barycentre $H$, on a :
Cette dernière égalité signifie que $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(H; \alpha+\beta); (C; \gamma)\}$.
Signalons au passage que les points $H, G$ et $C$ sont alignés. Ainsi, l'associativité est un outil fort pour démontrer l'alignement des points et la concourance des droites.
Exemple
Exemples.
1) Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A; 1)$, $(B; 1)$ et $(C; 1)$.
En utilisant l'associativité du barycentre et en désignant par $A'$ le milieu du segment $[BC]$, $B'$ celui du segment $[AC]$ et $C'$ celui du segment $[AB]$, on trouve $G$ est le barycentre de chacun des systèmes pondérés $\{(A; 1); (A'; 2)\}$, $\{(B; 1); (B'; 2)\}$ et $\{(C; 1); (C'; 2)\}$.
Ainsi, les médianes du triangle $ABC$ sont concourantes au point $G$ et de plus :
2) Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A; 2)$, $(B; 3)$ et $(C; 5)$, et $H$ le barycentre des points pondérés $(A; 2)$ et $(B; 3)$.
On déduit de l'associativité du barycentre que le point $G$ est le barycentre de $(H; 5)$ et $(C; 5)$.
Ainsi, le point $G$ est le milieu du segment $[HC]$.
Par ailleurs, si on note $K$ le barycentre des points pondérés $(B; 3)$ et $(C; 5)$, alors le point $G$ est aussi le barycentre des points pondérés $(A; 2)$ et $(K; 8)$, c'est-à-dire barycentre de $(A; 1)$ et $(K; 4)$.
Le point $K$ est donc le point d'intersection de $(AG)$ et $(BC)$ et le point $G$ est donc le point d'intersection des droites $(AK)$ et $(CH)$.
3) Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A; 3)$, $(B; -3)$ et $(C; 5)$.
Soit $K$ le barycentre des points pondérés $(B; -3)$ et $(C; 5)$. D'après l'associativité du barycentre, $G$ est le barycentre des deux points pondérés $(A; 3)$ et $(K; 2)$. Le point $K$ vérifie : $\overrightarrow{BK} = \dfrac{5}{2}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{CK} = -\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CB}$.
Le point $G$ est défini par la relation vectorielle : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AK}$.
D'autre part, si on désigne par $L$ le barycentre de $(A; 3)$ et $(C; 5)$, alors le point $G$ est aussi le barycentre des points $(L; 8)$ et $(B; -3)$.
On a donc : $\overrightarrow{AL} = \dfrac{5}{8}\overrightarrow{AC}$ et $\overrightarrow{BG} = \dfrac{8}{5}\overrightarrow{BL}$.
4) Soit $ABC$ un triangle. On considère les points $E$ et $F$ tels que : $\overrightarrow{BE} = \dfrac{3}{7}\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AF} = \dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}$.
Les droites $(AE)$ et $(BF)$ se coupent au point $G$. Montrons que $G$ est barycentre des points $A$, $B$ et $C$ en déterminant le poids de chacun de ces points.
Il est facile de montrer que $E$ est le barycentre du système pondéré $\{(B; 4); (C; 3)\}$ et que $F$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; 3); (C; 2)\}$. D'après la propriété d'homogénéité du barycentre, on conclut que : $E$ est le barycentre du système $\{(B; 8); (C; 6)\}$ et $F$ celui du système $\{(A; 9); (C; 6)\}$.
Soit $G'$ le barycentre du système pondéré $\{(A; 9); (B; 8); (C; 6)\}$. D'après l'associativité du barycentre : $G'$ le barycentre du système pondéré $\{(A; 9); (E; 14)\}$ et aussi du système pondéré $\{(B; 8); (F; 15)\}$.
Par conséquent, $G' \in (AE)$ et $G' \in (BF)$, c'est-à-dire que $G'$ est le point d'intersection de $(AE)$ et $(BF)$.
Donc, le point $G'$ est confondu avec $G$ et par suite, $G$ le barycentre du système $\{(A; 9); (B; 8); (C; 6)\}$.
Application
Applications.
1. Soit $ABC$ un triangle et $G$ le barycentre des points pondérés $(A; 3)$, $(B; 7)$ et $(C; -4)$.
Soit $K$ le point du plan tel que $\overrightarrow{BK} = -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}$.
Montrer que $G$ est le milieu du segment $[AK]$.
2. Soit $ABC$ un triangle et $L$ un point extérieur au triangle $ABC$ et appartenant à la demi-droite $[CA)$.
On pose $\overrightarrow{AL} = -t\overrightarrow{AC}$ avec $t$ un nombre réel strictement positif.
La droite passant par $A$ et parallèle à la droite $(BC)$ coupe la droite $(BL)$ en $G$.
a) Montrer que $G$ est barycentre des points $A$, $B$ et $C$ en déterminant le poids de chacun de ces points.
b) Montrer que $(CG)$ coupe le segment $[AB]$ au point $H$ barycentre des points pondérés $(A; 1+t)$ et $(B; t)$.
3. Soit $ABC$ un triangle et $P$ le point du plan tel que : $\overrightarrow{AP} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$
Soit $I$ le point d'intersection de $(AP)$ et $(BC)$ et $G$ le barycentre du système $\{(A; 1); (B; -3); (P; 1)\}$.
a) Construire le point $P$ puis calculer $\overrightarrow{IG}$ en fonction de $\overrightarrow{IB}$.
b) Construire le point $G$ puis prouver que $B$ est le centre de gravité du triangle $GAP$.
c) Soit $(\Delta)$ l'ensemble des points $M$ du plan tels que : $\left\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MP} – 3\overrightarrow{MB}\right\| = \left\|2\overrightarrow{MI} – \overrightarrow{MC}\right\|$
Prouver que le point $O$ milieu du segment $[BG]$ appartient à l'ensemble $(\Delta)$.
5.COORDONNÉES DU BARYCENTRE
Proposition
Proposition.
Soit $(O; \vec{i}, \vec{j})$ un repère du plan.
Si $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta); (C; \gamma)\}$ alors :
Exemples.
1) Dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$ du plan, on considère les points : $A(1; 2)$ ; $B(3; 9)$ ; $C(4; 5)$
Soit $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A; -1); (B; 2); (C; 3)\}$. On a :
\[\begin{cases}
x_G = \dfrac{-x_A + 2x_B + 3x_C}{-1+2+3} \\
y_G = \dfrac{-y_A + 2y_B + 3y_C}{-1+2+3}
\end{cases}
\text{ce qui donne : }
\begin{cases}
x_G = \dfrac{17}{4} \\
y_G = \dfrac{31}{4}
\end{cases}
\text{. Par suite : } G\left(\dfrac{17}{4}; \dfrac{31}{4}\right).\]
Soit $E$ le centre de gravité du triangle $ABC$. On a : $x_E = \dfrac{x_A + x_B + x_C}{3}$ et $y_E = \dfrac{y_A + y_B + y_C}{3}$
par conséquent : $x_E = \dfrac{8}{3}$ et $y_E = \dfrac{16}{3}$. Par suite : $E\left(\dfrac{8}{3}; \dfrac{16}{3}\right)$
2) Soit $ABCD$ un parallélogramme et $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A; 2); (B; -3); (C; 5)\}$.
Déterminons les coordonnées du point $G$ dans le repère $(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD})$.
On a pour tout point $M$ du plan : $4\overrightarrow{MG} = 2\overrightarrow{MA} – 3\overrightarrow{MB} + 5\overrightarrow{MC}$, donc : $4\overrightarrow{AG} = -3\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AC}$.
Et puisque $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}$, on en déduit que : $4\overrightarrow{AG} = -3\overrightarrow{AB} + 5(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = 2\overrightarrow{AB} + 5\overrightarrow{AD}$.
En définitive : $\overrightarrow{AG} = \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AB} + \dfrac{5}{4}\overrightarrow{AD}$ et donc : $G\left(\dfrac{1}{2}; \dfrac{5}{4}\right)$.
Application
Application.
Dans le repère $(O; \vec{i}, \vec{j})$, on considère les points : $A(-1; 2)$ ; $B\left(\dfrac{5}{2}; 7\right)$ et $C\left(\dfrac{3}{2}; 5\right)$.
Soit $G$ le point du plan tel que $A$ soit le barycentre du système pondéré $\{(B; -1); (C; 1); (G; -3)\}$.
Déterminer les coordonnées du point $G$.
III.BARYCENTRE DE QUATRE POINTS PONDÉRÉS
Définition
Définition et Propriétés.
De la même manière, on étend à quatre points et plus les définitions et les propriétés vues pour le barycentre d'un système pondérés à trois points pondérés.
Soit $(A; \alpha)$, $(B; \beta)$, $(C; \gamma)$ et $(D; \delta)$ quatre points pondérés du plan tels que : $\alpha + \beta + \gamma + \delta \neq 0$.
Il existe un unique point $G$ vérifiant l'égalité : $\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} + \gamma\overrightarrow{GC} + \delta\overrightarrow{GD} = \vec{0}$.
Le point $G$ est appelé le barycentre des points pondérés $(A; \alpha)$, $(B; \beta)$, $(C; \gamma)$ et $(D; \delta)$.
Dans le cas où les poids sont égaux, on parle alors d'isobarycentre.
Les propriétés d'homogénéité, de caractérisation et d'associativité du barycentre de trois points pondérés sont généralisables au barycentre de quatre points pondérés. Ainsi :
Pour tout point $M$ du plan : $\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} + \gamma\overrightarrow{MC} + \delta\overrightarrow{MD} = (\alpha+\beta+\gamma+\delta)\overrightarrow{MG}$.
Le barycentre de quatre points pondérés ne change pas si on remplace deux ou trois d'entre eux par leur barycentre partiel (s'il existe) affecté de la somme de leurs poids.
Le couple de coordonnées du barycentre $G$ est donné par :
Exemple.
Soit $ABCD$ un parallélogramme et $G$ le barycentre du système $\{(A; 2); (B; -2); (C; 3); (D; -1)\}$.
Pour tout point $M$ du plan, on a : $2\overrightarrow{MA} – 2\overrightarrow{MB} + 3\overrightarrow{MC} – \overrightarrow{MD} = 2\overrightarrow{MG}$
et si $M$ est confondu avec $C$, on trouve : $2\overrightarrow{CA} – 2\overrightarrow{CB} – \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{CG}$, d'où : $2\overrightarrow{BA} – \overrightarrow{CD} = 2\overrightarrow{CG}$.
Donc $2\overrightarrow{CG} = \overrightarrow{CD}$ (car $\overrightarrow{BA} = \overrightarrow{CD}$). Par suite, $G$ est le milieu du segment $[CD]$.
Soit $K$ le barycentre des points $(B; -2)$ et $(C; 3)$ et $L$ le barycentre des points $(A; 2)$ et $(D; -1)$.
D'après l'associativité du barycentre, $G$ est le barycentre des points $(K; 1)$ et $(L; 1)$, donc $G$ est le milieu du segment $[KL]$ et $\overrightarrow{BK} = 3\overrightarrow{BC}$ et $\overrightarrow{AL} = -\overrightarrow{AD}$.
Soit $H$ le barycentre du système $\{(A; 2); (C; 3); (D; -1)\}$.
D'après l'associativité du barycentre, $G$ est le barycentre des points $(H; 4)$ et $(B; -2)$ ; d'après l'homogénéité du barycentre, $G$ est le barycentre des points $(H; 2)$ et $(B; -1)$. On trouve alors :
$\overrightarrow{AH} = \dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC} – \dfrac{1}{2}\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BG} = 2\overrightarrow{BH}$, d'où $H$ est le milieu de $[BG]$.
