Définition.
Dans le plan $\mathcal{P}$ orienté positivement, on considère un point $\Omega$ et un réel $\theta$.
La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ est la transformation du plan, qui à tout point $M$ du plan associe le point $M'$ défini par :
On note cette transformation par $r(\Omega; \theta)$, ou simplement $r$, lorsqu'il n'y a pas de confusion possible.
Exemple
Exemples.
Soit $M$ et $M'$ deux points du plan orienté $\mathcal{P}$. On considère la rotation $r(\Omega; \theta)$ de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$ et qui transforme $M$ en $M'$.
Si $\theta \equiv 0 \; [2\pi]$, la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $0$ est l'application identique du plan : $r = Id_{\mathcal{P}}$.
Si $\theta \equiv \pi \; [2\pi]$, la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\pi$ est la symétrie centrale de centre $\Omega$ : $r = S_{\Omega}$.
Si $\theta \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$, la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$ associe à tout point $M$, le point $M'$ tel que le triangle $\Omega M M'$ est un triangle rectangle et isocèle de sommet $\Omega$ avec $(\overline{\overrightarrow{\Omega M} ; \overrightarrow{\Omega M'}}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$. C'est le quart de tour direct de centre $\Omega$.
Si $\theta \equiv -\frac{\pi}{2} \; [2\pi]$, la rotation $r$ est le quart de tour indirect de centre $\Omega$.
Remarque
Remarque.
Si $\theta \not\equiv 2k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$, alors $\Omega$ le centre de la rotation $r$ est l'unique point invariant par cette rotation, et dans ce cas : Pour tout point $M$ du plan tel que $M \neq \Omega$ et $r(M) = M'$, on a :
Le point $M'$ appartient au cercle de centre $\Omega$ et de rayon $\Omega M$ ;
La médiatrice du segment $[MM']$ passe par le point $\Omega$ ;
Le triangle $\Omega M M'$ est isocèle de sommet $\Omega$.
Application
Applications.
Soit $ABC$ un triangle équilatéral tel que : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$.
Déterminer l'angle de la rotation de centre $B$ et qui transforme $A$ en $C$.
Soit $ABC$ un triangle équilatéral tel que : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$ et $I$ le centre de gravité du triangle $ABC$.
On considère la rotation $r$ de centre $I$ et d'angle $\frac{2\pi}{3}$.
a) Montrer que : $r(A) = B$ et $r(B) = C$ et $r(C) = A$.
b) Soit $A'$ le milieu du segment $[BC]$. Déterminer $r(A')$.
Soit $ABCD$ un carré tel que : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$. On note $K$ et $L$ respectivement les milieux des segments $[CD]$ et $[AD]$.
Déterminer le centre et l'angle de la rotation $r$ dans chacun des deux cas suivants :
a) $r(A) = B$ et $r(B) = A$ ;
b) $r(A) = D$ et $r(L) = K$
1.2. ROTATION RÉCIPROQUE D’UNE ROTATION
Proposition
Proposition.
Toute rotation $r(\Omega; \theta)$ du plan $\mathcal{P}$ vers $\mathcal{P}$ est une application bijective. Sa bijection réciproque est la rotation $r(\Omega; -\theta)$ et on la note $r^{-1}$ ou $r^{-1}(\Omega; \theta) = r(\Omega; -\theta)$. On a donc :
Pour tous points $M$ et $N$ du plan :
\[r(\Omega; \theta)(M) = N \iff r(\Omega; -\theta)(N) = M\]
Application
Applications.
Soit $ABCD$ un carré de centre $O$ tel que : $(\overline{\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{AB}}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ et $r$ la rotation de centre $O$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
a) Déterminer $r(A)$ puis en déduire $r^{-1}(D)$.
b) Déterminer $r^{-1}(C)$ puis en déduire $r(D)$.
1.3. DÉCOMPOSITION D’UNE ROTATION
Théorème
Théorème.
Si $(\Delta)$ et $(\Delta')$ sont deux droites parallèles, alors $S_{(\Delta')} \circ S_{(\Delta)}$ est la translation de vecteur $\vec{u} = \overrightarrow{AA'}$ où $A$ est un point de la droite $(\Delta)$ et $A' = S_{(\Delta')}(A)$.
Toute translation $t$ de vecteur non nul $\vec{u}$ est décomposable en deux symétries orthogonales d'axes parallèles, dont l'un est choisi arbitrairement et l'autre est son image par la translation de vecteur $\frac{1}{2}\vec{u}$ ou $-\frac{1}{2}\vec{u}$.
Si $(\Delta)$ et $(\Delta')$ sont deux droites sécantes en $\Omega$, alors $S_{(\Delta')} \circ S_{(\Delta)}$ est la rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta \equiv 2(\overline{\vec{u} ; \vec{u}'}) \; [2\pi]$ où $\vec{u}$ et $\vec{u}'$ sont respectivement deux vecteurs directeurs de $(\Delta)$ et $(\Delta')$.
Toute rotation $r = r(\Omega; \theta)$ peut s'exprimer comme composée de deux symétries orthogonales $S_{(\Delta)}$ et $S_{(\Delta')}$ avec $(\Delta)$ et $(\Delta')$ sont deux droites sécantes en $\Omega$. Plus précisément : $r = S_{(\Delta')} \circ S_{(\Delta)}$ avec $(\Delta) \cap (\Delta') = \{\Omega\}$ et $(\overline{\vec{u} ; \vec{u}'}) \equiv \frac{\theta}{2} \; [2\pi]$, où $(\Delta) = D(\Omega; \vec{u})$ et $(\Delta') = D(\Omega; \vec{u}')$.
Exemple
Exemples.
Soit $ABCD$ un carré de centre $O$ tel que : $(\overline{\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{AB}}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$.
Déterminons la nature de l'application $f = S_{(CD)} \circ S_{(AC)}$ :
On a $f$ est la composée des deux symétries orthogonales $S_{(AC)}$ et $S_{(CD)}$.
Puisque $(AC) \cap (CD) = \{C\}$, alors $f$ est une rotation de centre $C$.
L'angle de la rotation $f$ est : $\theta \equiv 2(\overline{\overrightarrow{CA} ; \overrightarrow{CD}}) \; [2\pi]$, d'où : $\theta \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$.
Ainsi : $f$ est la rotation de centre $C$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
Soit $ABC$ un triangle équilatéral tel que : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$. On désigne par $(\Delta_A)$ la hauteur du triangle $ABC$ issue du sommet $A$.
Montrons que $r\left(A; \frac{\pi}{3}\right) = S_{(\Delta_A)} \circ S_{(AB)} = S_{(AC)} \circ S_{(\Delta_A)}$ :
Puisque le triangle $ABC$ est équilatéral alors $(\Delta_A)$ est la bissectrice intérieure de l'angle $\widehat{BAC}$.
En notant $A'$ le milieu du segment $[BC]$, on obtient :
Par suite : $r\left(A; \frac{\pi}{3}\right) = S_{(\Delta_A)} \circ S_{(AB)} = S_{(AC)} \circ S_{(\Delta_A)}$.
Application
Applications.
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de centre $O$ tel que : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) \equiv -\frac{\pi}{3} \; [2\pi]$
a) Déterminer une mesure de chacun des angles $(\overline{\overrightarrow{OB} ; \overrightarrow{OC}})$ et $(\overline{\overrightarrow{OA} ; \overrightarrow{OB}})$.
b) Déterminer puis tracer les droites $(\Delta)$, $(\Delta')$, $(\Delta_1)$ et $(\Delta_2)$ telles que :
a) Déterminer $S_{(\Delta')} \circ S_{(\Delta)}$ lorsque $(\Delta) \perp (\Delta')$.
b) Soit $(\Delta)$ et $(\Delta')$ deux droites parallèles et $(D)$ une droite perpendiculaire à $(\Delta)$ et $(\Delta')$.
Déterminer : $S_{(D)} \circ S_{(\Delta)} ; S_{(\Delta')} \circ S_{(D)} ; \left(S_{(\Delta')} \circ S_{(\Delta)}\right) \circ \left(S_{(D)} \circ S_{(\Delta)}\right)$
Soit $(\mathcal{C})$ un cercle de centre $O$ et $A$ et $B$ deux points distincts de $(\mathcal{C})$.
Soit $M$ un point de $(\mathcal{C})$ distinct de $A$ et $B$. On note $(\Delta)$ et $(\Delta')$ les médiatrices respectives des segments $[AM]$ et $[BM]$.
Déterminer $S_{(\Delta')} \circ S_{(\Delta)}$ et $S_{(BM)} \circ S_{(AM)}$.
Soit $ABCD$ un carré tel que : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$. Soit $r$ la rotation de centre $B$ et d'angle $\frac{\pi}{4}$.
Montrer que $r$ est la composée des deux symétries orthogonales dont on déterminera les axes.
2.PROPRIÉTÉS DES ROTATIONS
2.1. CONSERVATION DE LA DISTANCE
Proposition
Proposition.
Soit $A$ et $B$ sont deux points du plan $\mathcal{P}$.
Si $r(A) = A'$ et $r(B) = B'$ alors : $AB = A'B'$.
On dit que la rotation conserve la distance.
Exemple
Exemple.
Soit $ABCD$ et $DEFA$ deux carrés comme le montre la figure ci-contre :
Soit $M$ un point du segment $[AB]$.
Le cercle de centre $A$ et passant par le point $M$ coupe le segment $[AD]$ au point $N$ et le segment $[AF]$ au point $P$.
Montrons que : $DM = NF$ et $CN = EP$
On considère la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
On a : $r(M) = N$ et $r(D) = F$, donc : $DM = NF$ car la rotation conserve la distance.
On a : $r(N) = P$ et $r(C) = E$, donc : $CN = EP$ car la rotation conserve la distance.
2.2. CONSERVATION DES MESURES DES ANGLES ORIENTÉS
Proposition
Proposition.
Soit $A$ et $B$ deux points du plan $\mathcal{P}$.
Si $r(A) = A'$ et $r(B) = B'$ alors : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{A'B'}}) \equiv \theta \; [2\pi]$.
(On rappelle que $\theta$ désigne l'angle de la rotation $r$).
Exemple
Exemple.
Soit $ABC$ un triangle. On construit deux triangles $ABD$ et $ACE$ rectangles et isocèles au sommet commun $A$. Montrons que : $(BE) \perp (CD)$.
Soit $r$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. On a : $r(D) = B$ et $r(C) = E$,
donc : $(\overline{\overrightarrow{DC} ; \overrightarrow{BE}}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$. Par suite : $(BE) \perp (CD)$.
Remarque
Remarque.
La propriété précédente permet de déterminer l'angle d'une rotation à partir de deux points distincts et leurs images.
Proposition
Proposition.
Soit $A$, $B$, $C$ et $D$ quatre points du plan $\mathcal{P}$ tels que $A \neq B$ et $C \neq D$ et $A'$, $B'$, $C'$ et $D'$ leurs images respectives par la rotation $r$.
Alors : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{CD}}) \equiv (\overline{\overrightarrow{A'B'} ; \overrightarrow{C'D'}}) \; [2\pi]$
On dit que la rotation conserve les mesures des angles orientés.
Exemple
Exemple.
Soit $ABC$ un triangle tel que : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) \equiv \frac{\pi}{6} \; [2\pi]$.
Soit $D$ le symétrique du point $B$ par rapport à la droite $(AC)$, et soit $E$ le symétrique du point $C$ par rapport à la droite $(AD)$.
Montrons que : $(\overline{\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{BA}}) \equiv (\overline{\overrightarrow{DE} ; \overrightarrow{DA}}) \; [2\pi]$.
Considérons la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $-\frac{\pi}{3}$.
On a : $r(A) = A$ et $r(B) = D$ et $r(C) = E$.
Puisque la rotation conserve les mesures des angles orientés, alors : $(\overline{\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{BA}}) \equiv (\overline{\overrightarrow{DE} ; \overrightarrow{DA}}) \; [2\pi]$.
2.3. CONSERVATION DU COEFFICIENT DE COLINÉARITÉ DE DEUX VECTEURS
Proposition
Proposition.
Soit $A$, $B$ et $C$ trois points alignés tels que : $\overrightarrow{AC} = k \overrightarrow{AB}$ où $k \in \mathbb{R}$.
Si $r(A) = A'$, $r(B) = B'$ et $r(C) = C'$ alors : $\overrightarrow{A'C'} = k \overrightarrow{A'B'}$.
On dit que la rotation conserve l'alignement des points et le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.
Exemple
Exemple.
Soit $ABCD$ un carré et $AED$ et $AFB$ deux triangles équilatéraux comme le montre la figure suivante.
Montrons que les points $E$, $C$ et $F$ sont alignés :
On considère la rotation $R = r\left(A; \frac{\pi}{3}\right)$. Soit $K$ l'antécédent de $C$ par $R$.
On a : $R(B) = F$ car $AB = AF$ et $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AF}}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$.
et : $R(D) = E$ car $AD = AE$ et $(\overline{\overrightarrow{AD} ; \overrightarrow{AE}}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$.
Puisque $AB = BC$ alors $B$ appartient à la médiatrice du segment $[AC]$.
Puisque $AD = DC$ alors $D$ appartient à la médiatrice du segment $[AC]$.
Puisque $R(K) = C$ alors $AK = AC$ et donc $K$ appartient à la médiatrice du segment $[AC]$. Il s'ensuit donc que les points $B$, $D$ et $K$ sont alignés.
Puisque la rotation conserve l'alignement, alors les points $E$, $C$ et $F$ sont alignés.
Application
Applications.
Soit $ABC$ un triangle tel que la mesure principale de l'angle $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}})$ est positif.
On construit en dehors du triangle $ABC$ des carrés $ACDE$, $BAFG$ et $CBHI$.
En utilisant une rotation convenable, montrer que les droites $(AI)$ et $(BD)$ sont perpendiculaires.
Montrer que les droites $(AH)$ et $(CG)$ sont perpendiculaires.
On considère la rotation $r$ de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Soit $J$ le milieu du segment $[EF]$.
On pose : $r(J) = J'$.
a) Montrer que le point $J'$ appartient à la droite passant par $A$ et parallèle à la droite $(BC)$.
b) En déduire que $(AJ)$ est une hauteur du triangle $ABC$.
2.4. CONSERVATION DU BARYCENTRE
Proposition
Proposition.
Soit $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$ tel que $\alpha + \beta \neq 0$.
Si $r(A) = A'$, $r(B) = B'$ et $r(G) = G'$ alors $G'$ est le barycentre du système $\{(A'; \alpha); (B'; \beta)\}$.
On dit que la rotation conserve le barycentre.
Preuve
Preuve.
Puisque $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A; \alpha); (B; \beta)\}$, alors : $\overrightarrow{AG} = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{AB}$.
Or on sait que la rotation conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs ; d'où : $\overrightarrow{A'G'} = \frac{\beta}{\alpha + \beta} \overrightarrow{A'B'}$
ce qui signifie bien que $G'$ est le barycentre du système pondéré $\{(A'; \alpha); (B'; \beta)\}$.
Remarque
Remarques.
On peut étendre cette propriété au barycentre de trois ou quatre points pondérés.
La rotation conserve le milieu d'un segment et le centre de gravité d'un triangle.
Application
Applications.
$ABCD$ et $AEFG$ deux carrés tels que :
Soit $r$ la rotation de centre $A$ et transformant le point $B$ en $E$.
a) Déterminer une mesure de l'angle de la rotation $r$.
b) Montrer que : $r(C) = F$ et $r(D) = G$.
c) Déterminer la mesure principale de l'angle orienté $(\overline{\overrightarrow{BC} ; \overrightarrow{EF}})$.
Soit $G$ le barycentre des points pondérés $(A; 1)$, $(B; -1)$ et $(C; -1)$. On pose : $r(G) = G'$.
Montrer que les points $G$, $F$ et $G'$ sont alignés.
3.IMAGES DE CERTAINES FIGURES PAR UNE ROTATION
3.1. IMAGE D’UN CERCLE PAR UNE ROTATION
Proposition
Proposition.
L'image du cercle $\mathcal{C}(O; R)$, de centre $O$ et de rayon $R$, est le cercle $\mathcal{C}'(O'; R)$ où $O' = r(O)$.
3.2. IMAGE D’UNE DROITE, D’UNE DEMI-DROITE ET D’UN SEGMENT
Proposition
Proposition.
Soit $A$ et $B$ deux points distincts du plan. Si $r(A) = A'$ et $r(B) = B'$ alors :
Exemple.
Soit $ABC$ un triangle isocèle et rectangle en $A$ tel que $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$ et $I$ le milieu du segment $[BC]$.
On considère la rotation $r$ de centre $I$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$.
Soit $(\mathcal{C})$ le cercle de centre $C$ et passant par $I$.
Montrons que : $r(A) = B$ et $r(C) = A$
On a $ABC$ un triangle isocèle et rectangle et $I$ le milieu du segment $[BC]$. Il s'ensuit donc que $(AI) \perp (BI)$ et $IA = IB$.
D'après l'orientation du plan, on a aussi : $(\overline{\overrightarrow{IA} ; \overrightarrow{IB}}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$.
Par conséquent : $r(A) = B$. On montre de la même façon que $r(C) = A$.
Montrons maintenant que $r(E) = F$ où : $\{E\} = (AC) \cap (\mathcal{C})$ et $\{F\} = (AB) \cap (\mathcal{C}')$.
Soit $(\mathcal{C}')$ l'image du cercle $(\mathcal{C})$ par la rotation $r$. Alors $(\mathcal{C}')$ est le cercle de centre $r(C)$ et de rayon $IC$.
Ainsi, $(\mathcal{C}')$ est le cercle de centre $A$ et passant par le point $I$.
Puisque $E \in (\mathcal{C})$ alors $r(E) \in (\mathcal{C}')$. De plus, l'image du segment $[AC]$ par la rotation $r$ est le segment $[AB]$, ce qui montre que $r(E) \in [AB]$. Par conséquent, $r(E)$ est le point d'intersection du cercle $(\mathcal{C}')$ et du segment $[AB]$, c'est-à-dire le point $F$. Ainsi : $r(E) = F$.
Remarque
Remarques.
La rotation conserve le parallélisme : les images de deux droites parallèles par une rotation sont deux droites parallèles.
La rotation conserve l'orthogonalité : les images de deux droites perpendiculaires par une rotation sont deux droites perpendiculaires.
L'image d'un triangle isocèle par une rotation est un triangle isocèle.
L'image d'un triangle rectangle par une rotation est un triangle rectangle.
L'image d'un triangle équilatéral par une rotation est un triangle équilatéral.
L'image d'un rectangle par une rotation est un rectangle.
L'image de l'intersection de deux figures par une rotation est l'intersection des images de ces deux figures par cette rotation : Si $(F_1)$ et $(F_2)$ sont deux figures géométriques, alors :
\[r((F_1) \cap (F_2)) = r((F_1)) \cap r((F_2))\]
Application
Applications.
Soit $ABCD$ un carré tel que : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AD}}) \equiv \frac{\pi}{2} \; [2\pi]$.
Soit $I$ un point du segment $[BD]$ et $(\mathcal{C})$ le cercle de centre $I$ et de rayon $IA$.
Le cercle $(\mathcal{C})$ coupe la droite $(AB)$ en $J$ et la droite $(AD)$ en $K$.
Construire une figure convenable.
Montrer que : $BJ = DK$ et $(CI) \perp (JK)$.
4.COMPOSITION DE DEUX ROTATIONS
Théorème
Théorème.
Soit $r_1(\Omega_1; \alpha_1)$ et $r_2(\Omega_2; \alpha_2)$ deux rotations du plan d'angles non nuls.
Si $\Omega_1 = \Omega_2$ alors $r_1 \circ r_2$ est la rotation de centre $\Omega_1$ et d'angle $\alpha_1 + \alpha_2$. De plus, on a dans ce cas :
\[r_1 \circ r_2 = r_2 \circ r_1\]
Si $\Omega_1 \neq \Omega_2$ et $\alpha_1 + \alpha_2 \not\equiv 2k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$, alors $r_1 \circ r_2$ est une rotation d'angle $\alpha_1 + \alpha_2$.
Si $\Omega_1 \neq \Omega_2$ et $\alpha_1 + \alpha_2 = 2k\pi \; (k \in \mathbb{Z})$, alors $r_1 \circ r_2$ est une translation.
Remarque
Remarque.
Dans le cas où $\Omega_1 \neq \Omega_2$ et $\alpha_1 + \alpha_2 = 2k\pi$, alors pour déterminer le vecteur de la translation, il suffit de déterminer l'image d'un point connu par la translation $r_1 \circ r_2$.
Si par exemple $r_1 \circ r_2(O) = O'$, alors le vecteur de la translation est $\overrightarrow{OO'}$ : $r_1 \circ r_2 = t_{\overrightarrow{OO'}}$
Application
Applications.
Soit $ABC$ un triangle équilatéral de centre de gravité $G$ tel que : $(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AC}}) \equiv \frac{\pi}{3} \; [2\pi]$.
Déterminer la nature de chacune des applications suivantes :
\[(\overline{\overrightarrow{AB} ; \overrightarrow{AA'}}) \equiv \frac{\pi}{6} \; [2\pi] \text{et} (\overline{\overrightarrow{AA'} ; \overrightarrow{AC}}) \equiv \frac{\pi}{6} \; [2\pi].\]Par conséquent :\[S_{(AC)} \circ S_{(AA')} = r\left(A; \frac{2\pi}{6}\right) = r\left(A; \frac{\pi}{3}\right)\]et\[S_{(AA')} \circ S_{(AB)} = r\left(A; \frac{2\pi}{6}\right) = r\left(A; \frac{\pi}{3}\right).\]Par suite : $r\left(A; \frac{\pi}{3}\right) = S_{(\Delta_A)} \circ S_{(AB)} = S_{(AC)} \circ S_{(\Delta_A)}$.
