Étude des fonctions

1) On considère la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$. On a : $D_f = \mathbb{R}^*$ et $\lim_{x \to 0^+} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} f(x) = -\infty$ ; donc la droite $(\Delta) : x = 0$ est une asymptote verticale de la courbe $\mathscr{C}_f$. 2) On considère la fonction $f : x \mapsto \dfrac{2x + 1}{(x – 1)(x + 2)}$.

• Le domaine de définition de la fonction $f$ est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-2 ; 1\}$.
• On a : $\lim_{x \to -2^+} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to -2^-} f(x) = -\infty$ ; donc la droite $(\Delta_1) : x = -2$ est une asymptote verticale de la courbe $\mathscr{C}_f$.
• On a : $\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty$ ; donc la droite $(\Delta_2) : x = 1$ est une asymptote verticale de la courbe $\mathscr{C}_f$.

3) On considère la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1 + \sin x}{\sin^2 x}$.

• L'ensemble de définition de la fonction $f$ est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{k\pi / k \in \mathbb{Z}\}$.
• Soit $k \in \mathbb{Z}$. On a : $\lim_{x \to k\pi} (1 + \sin x) = 1$ et $\lim_{x \to k\pi} \sin^2 x = 0^+$ ; donc $\lim_{x \to k\pi} f(x) = +\infty$. Par conséquent, la droite $(\Delta_k) : x = k\pi$ est une asymptote verticale de la courbe $\mathscr{C}_f$.

1) On considère la fonction $f : x \mapsto \dfrac{1}{x}$. On a : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ ; par conséquent, la droite $(\Delta) : y = 0$ est une asymptote horizontale de la courbe $\mathscr{C}_f$, au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$. 2) On considère la fonction $f : x \mapsto \dfrac{x – 1}{x + 1}$. On a : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x – 1}{x + 1} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x} = 1$. De même : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 1$ ; il s'ensuit donc que la droite $(\Delta) : y = 1$ est une asymptote horizontale de la courbe $\mathscr{C}_f$, au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$. 3) On considère la fonction $f : x \mapsto \dfrac{\sqrt{x^2 + 1}}{x}$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ : $f(x) = \dfrac{|x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}}}{x}$. Il en résulte donc que : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} = 1$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = \lim_{x \to -\infty} -\sqrt{1 + \dfrac{1}{x^2}} = -1$ Par suite :

• La droite $(\Delta_1) : y = 1$ est une asymptote horizontale de la courbe $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $+\infty$.
• La droite $(\Delta_2) : y = -1$ est une asymptote horizontale de la courbe $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $-\infty$.

On considère la fonction $f : x \mapsto 2 + \dfrac{x – 1}{x^2}$. On a : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 2$ et $\lim_{x \to -\infty} f(x) = 2$ ; donc la droite $(\Delta) : y = 2$ est une asymptote horizontale de la courbe $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$. On a maintenant pour tout $x \in \mathbb{R}^*$ : $f(x) – 2 = \dfrac{x – 1}{x^2}$ Le tableau de signe de $f(x) – 2$ est donné par : \[ \begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & 0 & & 1 & & +\infty
\hline f(x) – 2 & & – & \vline\vline & – & 0 & + &
\hline \end{array} \] On en déduit alors que la courbe $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de l'asymptote $(\Delta)$ sur les intervalles $]-\infty ; 0[$ et $]0 ; 1[$ et au-dessus de l'asymptote $(\Delta)$ sur l'intervalle $]1 ; +\infty[$.

1) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^*$ par : $f(x) = 2x – 1 + \dfrac{1}{x}$. On a : $\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) – (2x – 1) \right] = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} \left[ f(x) – (2x – 1) \right] = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x} = 0$ ; donc la droite $(D) : y = 2x – 1$ est une asymptote oblique de la courbe $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$. 2) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $]0 ; +\infty[$ par : $g(x) = \dfrac{x}{2} + 1 + \dfrac{1}{\sqrt{x}}$. On a : $\lim_{x \to +\infty} \left[ g(x) – \left( \dfrac{x}{2} + 1 \right) \right] = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{\sqrt{x}} = 0$ ; donc la droite $(D) : y = \dfrac{1}{2}x + 1$ est une asymptote oblique de la courbe $\mathscr{C}_g$ au voisinage de $+\infty$.

Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ par : $f(x) = x + 2 + \dfrac{1}{x – 1}$. On a : $\lim_{x \to +\infty} \left[ f(x) – (x + 2) \right] = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x – 1} = 0$ et $\lim_{x \to -\infty} \left[ f(x) – (x + 2) \right] = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1}{x – 1} = 0$ ; donc la droite $(D) : y = x + 2$ est une asymptote oblique de la courbe $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$. On a maintenant pour tout $x \in \mathbb{R} \setminus \{1\}$ : $f(x) – (x + 2) = \dfrac{1}{x – 1}$ Le signe de $f(x) – (x + 2)$ est donc celui de $\dfrac{1}{x – 1}$. On en déduit donc que la courbe $\mathscr{C}_f$ est en-dessous de l'asymptote $(D)$ sur les intervalles $]-\infty ; 1[$ et au-dessus de l'asymptote $(D)$ sur l'intervalle $]1 ; +\infty[$. \[ \begin{array}{|c|ccc|} \hline x & -\infty & 1 & +\infty
\hline \dfrac{1}{x-1} & & – & \vline\vline & + &
\hline \end{array} \]

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x – \dfrac{1}{x^2 + 2}$. On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $f(x) = x + u(x)$ avec $u(x) = -\dfrac{1}{x^2 + 2}$. Puisque $\lim_{x \to +\infty} u(x) = \lim_{x \to -\infty} u(x) = 0$, alors la droite $(D) : y = x$ est une asymptote oblique de la courbe $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$. Dans la plupart des cas, il est difficile d'écrire $f(x)$ sous la forme $f(x) = ax + b + u(x)$ avec : $\lim_{x \to +\infty} u(x) = 0$ ou $\lim_{x \to -\infty} u(x) = 0$. La proposition suivante donne une méthode pratique pour déterminer les valeurs des réels $a$ et $b$ dans tous les cas où la courbe $\mathscr{C}_f$ de $f$ admet une asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ et $-\infty$.

1) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{1}{2} \right\}$ par : $f(x) = \dfrac{-x^2 + 5x – 1}{2x – 1}$. On a : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-x^2}{2x} = \lim_{x \to +\infty} -\dfrac{x}{2} = -\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-x^2}{2x^2} = -\dfrac{1}{2}$. Calculons maintenant $\lim_{x \to +\infty} \left( f(x) + \dfrac{1}{2}x \right)$ : \[ \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) + \dfrac{1}{2}x \right) = \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{-x^2 + 5x – 1}{2x – 1} + \dfrac{1}{2}x \right) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{-2x^2 + 10x – 2 + 2x^2 – x}{2(2x – 1)} = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{9x – 2}{4x – 2} \] Par conséquent : $\lim_{x \to +\infty} \left( f(x) + \dfrac{1}{2}x \right) = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{9x}{4x} = \dfrac{9}{4}$. Par suite, la droite $(D) : y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{9}{4}$ est une asymptote oblique de la courbe $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $+\infty$. On montre de la même façon que $(D)$ est aussi une asymptote oblique de $\mathscr{C}_f$ au voisinage de $-\infty$. 2) Soit $g$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $g(x) = \sqrt{9x^2 + x + 1}$. On a : $\lim_{x \to -\infty} (9x^2 + x + 1) = \lim_{x \to -\infty} 9x^2 = +\infty$ ; donc $\lim_{x \to -\infty} g(x) = +\infty$. On a : $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{g(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{9x^2 + x + 1}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{-x \sqrt{9 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}}{x} = \lim_{x \to -\infty} -\sqrt{9 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} = -3$ et de plus : $\lim_{x \to -\infty} (g(x) + 3x) = \lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{9x^2 + x + 1} + 3x \right) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x + 1}{x \left( -\sqrt{9 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}} – 3 \right)}$ Donc : $\lim_{x \to -\infty} (g(x) + 3x) = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{1 + \dfrac{1}{x}}{-\sqrt{9 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} – 3} = -\dfrac{1}{6}$ Par suite, la droite $(\Delta) : y = -3x – \dfrac{1}{6}$ est une asymptote oblique de la courbe $\mathscr{C}_g$ au voisinage de $-\infty$.

1) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = x^3 – 2x + 3$ On a : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} x^3 = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( x^2 – 2 + \dfrac{3}{x} \right) = +\infty$. Donc, la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$. 2) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}^+$ par : $f(x) = \sqrt{x} + 2$. On a : $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left( \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{2}{x} \right) = 0$. Donc, la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$. 3) Soit $f$ la fonction numérique définie sur $]-\infty ; 1]$ par : $f(x) = 2x – \sqrt{1 – x}$ On a : $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \left( 2 + \sqrt{\dfrac{1}{x^2} – \dfrac{1}{x}} \right) = 2$. On a : $\lim_{x \to -\infty} (f(x) – 2x) = \lim_{x \to -\infty} (-\sqrt{1 – x}) = -\infty$. Il s'ensuit donc que la courbe représentative $\mathscr{C}_f$ admet une branche parabolique de direction la droite $(\Delta) : y = 2x$ au voisinage de $-\infty$.

1) On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \sqrt{x^2 + 6x + 5}$ Montrons que la droite $(\Delta)$ d'équation $x = -3$ est un axe de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$ : Le ensemble de définition de $f$ est $D_f = ]-\infty ; -5] \cup [-1 ; +\infty[$. On a d'une part : \[ x \in D_f \iff (x \leq -5 \text{ ou } x \geq -1) \iff (-6 – x \geq -1 \text{ ou } -6 – x \leq -5) \iff (-6 – x) \in D_f \] D'autre part, pour tout $x \in D_f$ : \[ f(-6 – x) = \sqrt{(-6 – x)^2 + 6(-6 – x) + 5} = \sqrt{x^2 + 12x + 36 – 36 – 6x + 5} = \sqrt{x^2 + 6x + 5} = f(x) \] Par suite, la droite $(\Delta)$ d'équation $x = -3$ est un axe de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$. 2) On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \dfrac{1}{x – 1} – \dfrac{1}{x – 3}$ Montrons que la droite $(\Delta)$ d'équation $x = 2$ est un axe de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$ : L'ensemble de définition de $f$ est $D_f = \mathbb{R} \setminus \{1 ; 3\}$. De plus, pour tout $x \in D_f : 4 – x \neq 1 \text{ et } 4 – x \neq 3$. Par conséquent : $4 – x \in D_f$. On a maintenant pour tout $x \in D_f$ : \[ f(4 – x) = \dfrac{1}{4 – x – 1} – \dfrac{1}{4 – x – 3} = \dfrac{1}{3 – x} – \dfrac{1}{1 – x} = f(x) \] Par suite, la droite $(\Delta)$ d'équation $x = 2$ est un axe de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$. 3) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \cos x$. Montrons que la droite $(\Delta_k)$ d'équation $x = k\pi$ est un axe de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$ ; ($k \in \mathbb{Z}$) On a : $D_f = \mathbb{R}$. De plus, pour tout $x \in \mathbb{R} : f(2k\pi – x) = \cos(2k\pi – x) = \cos(-x) = \cos(x) = f(x)$. (car la fonction $\cos$ est périodique de période $2\pi$ et paire). Par suite, la droite $(\Delta_k)$ d'équation $x = k\pi$ est un axe de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$.

1) On considère la fonction $f$ définie par : $f(x) = \dfrac{2x + 3}{3x – 4}$ Montrons que le point $\Omega \left( \dfrac{4}{3} ; \dfrac{2}{3} \right)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$ : L'ensemble de définition de $f$ est $D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{ \dfrac{4}{3} \right\}$. De plus, pour tout $x \in D_f : \left( \dfrac{8}{3} – x \right) \in D_f$. Montrons maintenant que : $\left( \forall x \in D_f \right) f\left( \dfrac{8}{3} – x \right) = \dfrac{4}{3} – f(x)$. On a : $f\left( \dfrac{8}{3} – x \right) = \dfrac{2\left( \dfrac{8}{3} – x \right) + 3}{3\left( \dfrac{8}{3} – x \right) – 4} = \dfrac{25 – 6x}{12 – 9x} \text{et} \dfrac{4}{3} – f(x) = \dfrac{4}{3} – \dfrac{2x + 3}{3x – 4} = \dfrac{6x – 25}{9x – 12}$ Il s'ensuit donc que : $\left( \forall x \in D_f \right) f\left( \dfrac{8}{3} – x \right) = \dfrac{4}{3} – f(x)$. Ainsi, le point $\Omega \left( \dfrac{4}{3} ; \dfrac{2}{3} \right)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$. 2) On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = \sin x – \cos x$ Montrons que le point $\Omega \left( \dfrac{\pi}{4} ; 0 \right)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$ : On a $D_f = \mathbb{R}$. De plus, on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[ f\left( \dfrac{\pi}{2} – x \right) = \sin\left( \dfrac{\pi}{2} – x \right) – \cos\left( \dfrac{\pi}{2} – x \right) = \cos x – \sin x = -f(x) \] Ainsi, le point $\Omega \left( \dfrac{\pi}{4} ; 0 \right)$ est un centre de symétrie de la courbe $\mathscr{C}_f$.

On considère la figure ci-contre qui représente le graphe d'une fonction $f$ sur $\mathbb{R}$. La courbe $\mathscr{C}_f$ est convexe sur $[3, +\infty[$ et concave sur $]-\infty, 3]$. Le point $M_0(3, 2)$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$. La tangente $T$ traverse la courbe $\mathscr{C}_f$ en $M_0(3, 2)$.

On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par : $f(x) = -x^3 + 6x^2 – 9x + 5$ La fonction $f$ étant polynomiale, donc elle est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$. De plus, on a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : \[ f'(x) = -3x^2 + 12x – 9 \text{et} f''(x) = -6x + 12 \] Tableau de concavité de la courbe $\mathscr{C}_f$ : \begin{tabular}{|c|lcccr|} \hline $x$ & $-\infty$ & & $2$ & & $+\infty$
\hline $f''(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ &
\hline Concavité de & & $\smile$ & Point & $\frown$ &
la courbe $\mathscr{C}_f$ & & & d'inflexion & &
\hline \end{tabular} En résumé :

• la courbe $\mathscr{C}_f$ est convexe sur $]-\infty ; 2]$ et concave sur $[2 ; +\infty[$ ;
• Le point $I(2 ; 3)$ est un point d'inflexion de la courbe $\mathscr{C}_f$.