CONNAISSANCES FONDAMENTALES
FORMULES DE TRANSFORMATION DE BASE
FORMULES D’ADDITION
Proposition.
Soit $a$ et $b$ deux nombre rǸels. On a les formules suivantes :
\[\cos(a – b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b ; \cos(a + b) = \cos a.\cos b – \sin a.\sin b\]
\[\sin(a – b) = \sin a.\cos b – \cos a.\sin b ; \sin(a + b) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b\]
Exemples.
1) Calculons $\cos\frac{\pi}{12}$ et $\sin\frac{\pi}{12}$ :
On a : $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6}$, donc : $\cos\frac{\pi}{12} = \cos\left(\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} + \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}$
Par consǸquent : $\cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
$\sin\frac{\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{6} – \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2}$
Par consǸquent : $\sin\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4} – \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}$.
2) Calculons $\cos\frac{7\pi}{12}$ et $\sin\frac{7\pi}{12}$ :
On a : $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}$, donc : $\cos\frac{7\pi}{12} = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \cos\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} – \sin\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
Par consǸquent : $\cos\frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{4} – \frac{\sqrt{6}}{4} = \frac{\sqrt{2} – \sqrt{6}}{4}$
$\sin\frac{7\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}\right) = \sin\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{3} + \cos\frac{\pi}{4}\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
Par consǸquent : $\sin\frac{7\pi}{12} = \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$
3) Soit $x \in \mathbb{R}$. Montrons que : $\sqrt{3}\cos x – \sin x = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$
On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\cos x.\cos\frac{\pi}{6} – \sin x.\sin\frac{\pi}{6}\right) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x – \frac{1}{2}\sin x\right)$
Par suite : $2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \sqrt{3}\cos x – \sin x$
Applications.
1. En remarquant que $\frac{5\pi}{12} = \frac{2\pi}{3} – \frac{\pi}{4}$, calculer : $\cos\frac{5\pi}{12}$ et $\sin\frac{5\pi}{12}$.
2. Calculer : $\cos\frac{11\pi}{12}$ et $\sin\frac{11\pi}{12}$.
3. Soit $x \in \mathbb{R}$. ÂÉtablir les ǸgalitǸs suivantes :
\[\cos x – \sqrt{3}\sin x = 2\sin\left(\frac{\pi}{6} – x\right) ; \cos x + \sin x = \sqrt{2}\cos\left(x – \frac{\pi}{4}\right)\]
\[\sqrt{3}\cos x + \sin x = 2\sin\left(x + \frac{\pi}{3}\right) ; -\sqrt{6}\cos x – \sqrt{2}\sin x = 2\sqrt{2}\cos\left(x + \frac{5\pi}{6}\right)\]
Proposition.
Soit $a$ et $b$ deux rǸels tels que : $a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ et $b \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$. On a les formules suivantes :
\textbullet Si $a – b \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, alors : $ \tan(a – b) = \frac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a.\tan b}$
\textbullet Si $a + b \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ avec $k \in \mathbb{Z}$, alors : $ \tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a.\tan b}$.
Exemples.
1) Calculons $\tan\frac{\pi}{12}$ :
On a : $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6}$, donc : $\tan\frac{\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{4} – \tan\frac{\pi}{6}}{1 + \tan\frac{\pi}{4}.\tan\frac{\pi}{6}} = \frac{1 – \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{3 – \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$.
Par consǸquent : $\tan\frac{\pi}{12} = 2 – \sqrt{3}$.
2) Calculons $\tan\frac{7\pi}{12}$ :
On a : $\frac{7\pi}{12} = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}$, donc : $\tan\frac{7\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{4}\right) = \frac{\tan\frac{\pi}{3} + \tan\frac{\pi}{4}}{1 – \tan\frac{\pi}{3}.\tan\frac{\pi}{4}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{1 – \sqrt{3}}$ .
Par consǸquent : $\tan\frac{7\pi}{12} = -2 – \sqrt{3}$.
Applications.
1. En remarquant que $\frac{5\pi}{12} = \frac{7\pi}{12} – \frac{\pi}{6}$, calculer : $\tan\frac{5\pi}{12}$.
2. Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que : $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ et $x \neq \frac{\pi}{4} + k\pi$ et $x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi$. Simplifier : $\tan\left(\frac{\pi}{4} – x\right).\tan\left(\frac{\pi}{4} + x\right)$.
TRANSFOMATION DE $\cos(2a)$, $\sin(2a)$ ET $\tan(2a)$
Proposition.
Soit $a$ et $b$ deux nombre rǸels. On a les formules suivantes :
- $\cos(2a) = \cos^2 a – \sin^2 a = 2\cos^2 a – 1 = 1 – 2\sin^2 a$ ;
- $\sin(2a) = 2\sin a.\cos a$ ;
- $\cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2} \text{et} \sin^2 a = \frac{1 – \cos(2a)}{2} \text{et} \tan^2 a = \frac{1 – \cos(2a)}{1 + \cos(2a)}$ ;
- Si $a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ et $2a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$, alors: $\tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a}$.
Exemples.
1) Calculons les rapports trigonomǸtriques de $\frac{\pi}{8}$ :
On a : $2 \times \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$, donc : $\cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4}$
Puisque $\frac{\pi}{8} \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ alors : $\cos\frac{\pi}{8} \geq 0$. Par suite : $\cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$.
De mÂême : $\sin^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 – \cos\frac{\pi}{4}}{2} = \frac{1 – \frac{\sqrt{2}}{2}}{2} = \frac{2 – \sqrt{2}}{4}$.
Puisque $\frac{\pi}{8} \in \left[0; \frac{\pi}{2}\right]$ alors : $\sin\frac{\pi}{8} \geq 0$. Par suite : $\sin\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 – \sqrt{2}}}{2}$.
Enfin : $\tan\frac{\pi}{8} = \frac{\sin\frac{\pi}{8}}{\cos\frac{\pi}{8}} = \frac{\frac{\sqrt{2 – \sqrt{2}}}{2}}{\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}} = \sqrt{\frac{2 – \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}} = \sqrt{\left(\sqrt{2} – 1\right)^2} = \sqrt{2} – 1$. Ainsi : $\tan\frac{\pi}{8} = \sqrt{2} – 1$.
\underline{Remarque :} On peut aussi utiliser la formule $\tan^2 a = \frac{1 – \cos(2a)}{1 + \cos(2a)}$ pour calculer $\tan\frac{\pi}{8}$ en prenant $a = \frac{\pi}{8}$.
2) Soit $x \in \left]0; \frac{\pi}{2}\right[$. Montrons que : $\frac{\sin(3x)}{\sin x} – \frac{\cos(3x)}{\cos x} = 2$ :
On a : $\frac{\sin(3x)}{\sin x} – \frac{\cos(3x)}{\cos x} = \frac{\sin(3x)\cos x – \sin x.\cos(3x)}{\sin x.\cos x} = \frac{\sin(3x – x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = \frac{\sin(2x)}{\frac{1}{2}\sin(2x)} = 2$
D'où le rǸsultat.
Remarques.
- On a pour tout rǸel $a$ :
\[1 + \cos a = 2\cos^2\left(\frac{a}{2}\right) ; 1 – \cos a = 2\sin^2\left(\frac{a}{2}\right) ; \sin a = 2\cos\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\frac{a}{2}\right)\]
- On rappelle que pour tout rǸel $a$ : $ \sin a = \cos\left(\frac{\pi}{2} – a\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{2} + a\right)$
Applications.
1. Soit $x \in \mathbb{R}$. ÂÉtablir les ǸgalitǸs suivantes :
\[1 + \sin x = \left(\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2}\right)^2 ; 1 + \cos x + 2\sin^2\frac{x}{2} = 2 ; 2\sin x + \sin(2x) = 8\sin\left(\frac{x}{2}\right).\cos^3\left(\frac{x}{2}\right)\]
\[1 – \cos x + \sin x = 2\sin\frac{x}{2}.\left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right) ; 1 + \cos x – \sin x = 2\sqrt{2}\cos\frac{x}{2}.\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right)\]
2. Soit $\alpha$ un rǸel tel que : $\sin \alpha \neq -1$.
Montrer que : $\frac{1 – \sin \alpha}{1 + \sin \alpha} = \tan^2\left(\frac{\pi}{4} – \frac{\alpha}{2}\right)$.
3. Soit $x \in \mathbb{R}$ tel que $x \neq k\pi$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$.
Montrer que : $ \frac{1 – \cos x}{\sin x} = \tan\frac{x}{2} \text{et} \sin x = (1 + \cos x)\tan\frac{x}{2}$.FORMULES $\cos(a)$, $\sin(a)$ ET $\tan(a)$ EN FONCTION DE $\tan\left(\frac{a}{2}\right)$
Proposition.
Soit $a$ un nombre rǸel tel que : $a \neq \pi + 2k\pi$ et $a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$. On pose : $t = \tan\frac{a}{2}$.
On a : $ \sin a = \frac{2t}{1 + t^2} \text{et} \cos a = \frac{1 – t^2}{1 + t^2} \text{et} \tan a = \frac{2t}{1 – t^2}$
Preuve.
Soit $a$ un nombre rǸel tel que : $a \neq \pi + 2k\pi$ et $a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$.
On a : $\frac{1 – t^2}{1 + t^2} = \frac{1 – \tan^2\frac{a}{2}}{1 + \tan^2\frac{a}{2}} = \frac{\frac{\cos^2\frac{a}{2} – \sin^2\frac{a}{2}}{\cos^2\frac{a}{2}}}{\frac{\cos^2\frac{a}{2} + \sin^2\frac{a}{2}}{\cos^2\frac{a}{2}}} = \cos^2\frac{a}{2} – \sin^2\frac{a}{2} = \cos\left(2 \times \frac{a}{2}\right) = \cos a$.
Exemple.
Soit $a$ un nombre rǸel tel que : $\tan\frac{a}{2} = \sqrt{2}$.
Calculons $\cos a$, $\sin a$ et $\tan a$ :
$\cos a = \frac{1 – \tan^2\frac{a}{2}}{1 + \tan^2\frac{a}{2}} = \frac{1 – (\sqrt{2})^2}{1 + (\sqrt{2})^2} = -\frac{1}{3} \text{et} \sin a = \frac{2\tan\frac{a}{2}}{1 + \tan^2\frac{a}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{1 + (\sqrt{2})^2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\tan a = \frac{2\tan\frac{a}{2}}{1 – \tan^2\frac{a}{2}} = \frac{2\sqrt{2}}{1 – (\sqrt{2})^2} = -2\sqrt{2}$
Par suite : $ \cos a = -\frac{1}{3} ; \sin a = \frac{2\sqrt{2}}{3} ; \tan a = -2\sqrt{2}$
Applications.
1. Soit $x$ un nombre rǸel tel que $\tan x = 2$.
Calculer : $\cos(2x) ; \sin(2x) ; \tan(2x)$.
2. Soit $x$ un nombre rǸel tel que $x \neq \pi + 2k\pi$ pour tout $k \in \mathbb{Z}$. On pose : $t = \tan\frac{x}{2}$
Montrer que : $\frac{1 – \cos x}{1 + \cos x} = t^2$ et $\frac{\sin x}{1 + \cos x} = t$.
3. Soit $a$ et $b$ deux rǸels de l'intervalle $\left]0; \frac{\pi}{2}\right[$.
Prouver les inǸgalitǸs suivantes : $ \frac{1}{\tan a} + \frac{1}{\tan\frac{a}{2}} < \tan\left(\frac{a + b}{2}\right) \leq \frac{\tan a + \tan b}{2}$
(\underline{Indication :} on pourra poser $x = \tan\frac{a}{2}$ et $y = \tan\frac{b}{2}$).
TRANSFORMATION DE PRODUITS EN SOMMES
Proposition.
Soit $a$ et $b$ deux nombre rǸels. On a les formules suivantes :
\[\cos a.\cos b = \frac{1}{2}\Big[\cos(a – b) + \cos(a + b)\Big] ; \sin a.\sin b = \frac{1}{2}\Big[\cos(a – b) – \cos(a + b)\Big]\]
\[\sin a.\cos b = \frac{1}{2}\Big[\sin(a + b) + \sin(a – b)\Big] ; \cos a.\sin b = \frac{1}{2}\Big[\sin(a + b) – \sin(a – b)\Big]\]
Preuve.
On a : $\cos(a – b) = \cos a.\cos b + \sin a.\sin b \text{et} \cos(a + b) = \cos a.\cos b – \sin a.\sin b$
Il s'ensuit donc que :
\[\cos(a – b) + \cos(a + b) = 2\cos a.\cos b \text{et} \cos(a – b) – \cos(a + b) = 2\sin a.\sin b\]
ce qui donne les deux premiers ǸgalitǸs.
On a : $\sin(a – b) = \sin a.\cos b – \cos a.\sin b ; \sin(a + b) = \sin a.\cos b + \cos a.\sin b$
Il s'ensuit donc que :
\[\sin(a + b) + \sin(a – b) = 2\sin a.\cos b \text{et} \sin(a + b) – \sin(a – b) = 2\cos a.\sin b\]
ce qui donne les deux derniÂères ǸgalitǸs.Exemples.
1) Calculons $\cos\frac{7\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}$ et $\sin\frac{7\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12}$ :
On a : $\cos\frac{7\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{7\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}\right) + \cos\left(\frac{7\pi}{12} – \frac{5\pi}{12}\right)\right] = \frac{1}{2}\left[\cos\pi + \cos\frac{\pi}{6}\right]$
Par consǸquent : $\cos\frac{7\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{1}{2}\left(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} – 2}{4}$
On a : $\sin\frac{7\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{1}{2}\left[\sin\left(\frac{7\pi}{12} + \frac{5\pi}{12}\right) + \sin\left(\frac{7\pi}{12} – \frac{5\pi}{12}\right)\right] = \frac{1}{2}\left[\sin\pi + \sin\frac{\pi}{6}\right]$
Par consǸquent : $\sin\frac{7\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{1}{2}\left(0 + \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}$.
2) RǸsolvons dans l'intervalle $[0; 2\pi[$ l'inǸquation suivante : $\cos\left(\frac{x}{2}\right).\cos\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}\right) \leq \frac{\sqrt{2}}{2}$
Applications.
ÂÉcrire sous forme de sommes les produits suivants :
\[A(x) = \cos x.\cos(5x) ; B(x) = \sin(3x).\sin(4x) ; C(x) = \cos\left(x – \frac{\pi}{3}\right).\sin\left(2x + \frac{\pi}{4}\right)\]
TRANSFORMATION DE SOMMES EN PRODUITS
Proposition.
Soit $p$ et $q$ deux nombre rǸels. On a les formules suivantes :
\[\cos p + \cos q = 2\cos\left(\frac{p + q}{2}\right)\cos\left(\frac{p – q}{2}\right) ; \cos p – \cos q = -2\sin\left(\frac{p + q}{2}\right)\sin\left(\frac{p – q}{2}\right)\]
\[\sin p + \sin q = 2\sin\left(\frac{p + q}{2}\right)\cos\left(\frac{p – q}{2}\right) ; \sin p – \sin q = 2\sin\left(\frac{p – q}{2}\right)\cos\left(\frac{p + q}{2}\right)\]
Preuve.
On a : $\cos(a – b) + \cos(a + b) = 2\cos a.\cos b \text{et} \cos(a – b) – \cos(a + b) = 2\sin a.\sin b$
$\sin(a + b) + \sin(a – b) = 2\sin a.\cos b \text{et} \sin(a + b) – \sin(a – b) = 2\cos a.\sin b$
En posant : $a + b = p$ et $a – b = q$, on obtient : $a = \frac{p + q}{2}$ et $b = \frac{p – q}{2}$.
Par suite : $\cos p + \cos q = 2\cos\left(\frac{p + q}{2}\right)\cos\left(\frac{p – q}{2}\right) \text{et} \cos p – \cos q = -2\sin\left(\frac{p + q}{2}\right)\sin\left(\frac{p – q}{2}\right)$
$\sin p + \sin q = 2\sin\left(\frac{p + q}{2}\right)\cos\left(\frac{p – q}{2}\right) \text{et} \sin p – \sin q = 2\sin\left(\frac{p – q}{2}\right)\cos\left(\frac{p + q}{2}\right)$
Exemples.
1) On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\sin x + \sin(3x) = 2\sin\left(\frac{x + 3x}{2}\right)\cos\left(\frac{x – 3x}{2}\right) = 2\sin(2x)\cos(-x)$
Par consǸquent : $\sin x + \sin(3x) = 2\sin(2x)\cos x $ (la fonction cos est paire)
2) On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\cos(5x) – \cos(8x) = -2\sin\left(\frac{5x + 8x}{2}\right)\sin\left(\frac{5x – 8x}{2}\right) = -2\sin\left(\frac{13x}{2}\right)\sin\left(-\frac{3x}{2}\right)$
Par consǸquent : $\cos(5x) – \cos(8x) = 2\sin\left(\frac{13x}{2}\right)\sin\left(\frac{3x}{2}\right) $ (la fonction sin est impaire)
3) Factorisons la somme suivante : $G(x) = \cos x + \cos(2x) + \cos(3x) + \cos(4x) \text{où } x \in \mathbb{R}$
On a pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\cos x + \cos(4x) = 2\cos\left(\frac{x + 4x}{2}\right)\cos\left(\frac{x – 4x}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{3x}{2}\right)$
et : $\cos(2x) + \cos(3x) = 2\cos\left(\frac{2x + 3x}{2}\right)\cos\left(\frac{2x – 3x}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)$
Par consǸquent : $G(x) = 2\cos\left(\frac{5x}{2}\right)\left[\cos\left(\frac{3x}{2}\right) + \cos\left(\frac{x}{2}\right)\right] = 4\cos\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{3x}{2} + \frac{x}{2}}{2}\right)\cos\left(\frac{\frac{3x}{2} – \frac{x}{2}}{2}\right)$.
Par suite : $G(x) = 4\cos\left(\frac{5x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)\cos x$.
Applications.
1. ÂÉcrire sous forme d'un produit les sommes suivantes :
\[A(x) = \sin x + \sin(2x) + \sin(3x) ; B(x) = 1 + \cos x + \cos(2x) + \cos(3x)\]
\[C(x) = 1 + \sin(2x) – \cos(2x) ; D(x) = \sin x + \sin(5x) + \sin(7x)\]
2. a) ÂÉcrire sous forme de produit l'expression : $\cos x + \cos(2x) \text{où } x \in \mathbb{R}$.
b) En dǸduire les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'Ǹquation : $\cos x + \cos(2x) = 0$.
c) RǸsoudre dans l'intervalle $[0; \pi]$, l'inǸquation suivante : $\cos x + \cos(2x) \geq 0$.
3. a) Factoriser l'expression : $\sin x + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x) \text{où } x \in \mathbb{R}$.
b) RǸsoudre dans l'intervalle $[-\pi; 0]$, l'inǸquation suivante : $\sin x + \sin(2x) + \sin(3x) + \sin(4x) < 0$.
4. a) Montrer que pour tout $x \in \mathbb{R}$ : $\sin\left(x – \frac{\pi}{3}\right) + \sin(3x) = 2\sin\left(2x – \frac{\pi}{6}\right)\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)$
b) RǸsoudre dans $\mathbb{R}$ l'Ǹquation : $\sin x + 2\sin(3x) – \sqrt{3}\cos x = 0$
c) RǸsoudre dans l'intervalle $\left[0; \frac{\pi}{2}\right[$ l'inǸquation : $\sin x + 2\sin(3x) – \sqrt{3}\cos x \leq 0$.TRANSFORMATION DE L’EXPRSSION $a\cos(x) + b\sin(x)$
Proposition.
Soit $a$ et $b$ deux rǸels tels que $(a; b) \neq (0; 0)$. Alors il existe un rǸel $\alpha$ tel que :
\[a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(x – \alpha) \text{avec} \cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \text{et} \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\]
Exemples.
1) ÂÉcrivons $\sqrt{3}\cos x + \sin x$ sous la forme : $r\cos(x – \alpha)$.
On a : $\sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^2 + 1} = \sqrt{4} = 2 (a = \sqrt{3} \text{ et } b = 1)$.
Par consǸquent :
\[\sqrt{3}\cos x + \sin x = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x + \frac{1}{2}\sin x\right) = 2\left(\cos\frac{\pi}{6}\cos x + \sin\frac{\pi}{6}\sin x\right) = 2\cos\left(x – \frac{\pi}{6}\right)\]
Ainsi : $\sqrt{3}\cos x + \sin x = 2\cos\left(x – \frac{\pi}{6}\right)$.
2) ÂÉcrivons $\cos x – \sin x$ sous la forme : $r\cos(x – \alpha)$.
On a : $\sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} (a = 1 \text{ et } b = -1)$.
Par consǸquent :
\[\cos x – \sin x = \sqrt{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x – \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x\right) = \sqrt{2}\left(\cos\frac{\pi}{4}\cos x – \sin\frac{\pi}{4}\sin x\right) = \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\]
Ainsi : $\cos x – \sin x = \sqrt{2}\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$.Applications.
1. Mettre les expressions suivantes sous forme de $\rho\cos(\omega x + \varphi)$ :
\[A(x) = \cos(2x) + \sin(2x) ; B(x) = \cos x – \sqrt{3}\sin x ; C(x) = 3\cos\frac{x}{2} – \sqrt{3}\sin\frac{x}{2}\]
2. a) Montrer que : $\left(\forall x \in \mathbb{R}\right) \;\; \cos(2x) – \sqrt{3}\sin(2x) = 2\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right)$.
b) En dǸduire les solutions dans $\mathbb{R}$ de l'Ǹquation : $\cos(2x) – \sqrt{3}\sin(2x) = 1$.
c) RǸsoudre dans l'intervalle $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ l'inǸquation : $\cos(2x) – \sqrt{3}\sin(2x) \geq 1$.
3. RǸsoudre dans l'intervalle $]-\pi; 2\pi[$ l'inǸquation : $\cos\frac{x}{2} + \sin\frac{x}{2} \geq -1$.