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Limites d’une fonction

Introduction et approche intuitive

Exemple
Soit la fonction inverse $f: x \mapsto \frac{1}{x}$ définie sur $\mathbb{R}^*$.
  • Lorsque $x$ prend des valeurs positives de plus en plus grandes, $f(x)$ se rapproche de $0$. On écrit : $\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$.
  • Lorsque $x$ se rapproche de $0$ par des valeurs supérieures ($x > 0$), $f(x)$ devient infiniment grand. On écrit : $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$.

Limite finie ou infinie en un point

Limite finie en un point $a$

Définition
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant $a$ (sauf éventuellement en $a$). On dit que $f$ a pour limite le réel $l$ en $a$ si, lorsque $x$ tend vers $a$, $f(x)$ tend vers $l$. On note : \[ \lim_{x \to a} f(x) = l \]
Propriété
[Limites usuelles en un point] Pour tout $a \in \mathbb{R}$ et $n \in \mathbb{N}^*$ : \[ \lim_{x \to a} x = a, \lim_{x \to a} x^n = a^n, \lim_{x \to a} \sqrt{x} = \sqrt{a} \text{ (si } a \ge 0\text{)} \]

Limite à droite et limite à gauche

Définition
  • La limite à droite de $f$ en $a$ est la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ avec $x > a$. On la note $\lim_{x \to a^+} f(x)$ ou $\lim_{\substack{x \to a
    x > a}} f(x)$.
  • La limite à gauche de $f$ en $a$ est la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ avec $x < a$. On la note $\lim_{x \to a^-} f(x)$ ou $\lim_{\substack{x \to a
    x < a}} f(x)$.
Théorème
Une fonction $f$ admet une limite $l$ en $a$ si et seulement si elle admet une limite à droite et une limite à gauche en $a$ et que celles-ci sont égales : \[ \lim_{x \to a} f(x) = l \iff \lim_{x \to a^+} f(x) = \lim_{x \to a^-} f(x) = l \]

Limite infinie en un point

Définition
On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ (resp. $-\infty$) lorsque $x$ tend vers $a$ si les valeurs de $f(x)$ deviennent de plus en plus grandes (resp. négatives et grandes en valeur absolue) à mesure que $x$ se rapproche de $a$. On note : \[ \lim_{x \to a} f(x) = +\infty \text{ou} \lim_{x \to a} f(x) = -\infty \]
Propriété
[Limites infinies usuelles en 0]
  • $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$
  • $\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x^2} = +\infty$ et $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^2} = +\infty$
  • En général, si $n$ est impair : $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} = -\infty$, et si $n$ est pair : $\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x^n} = +\infty$.

Limites en $\pm\infty$

Limite finie en l’infini

Définition
On dit que $f$ a pour limite $l$ en $+\infty$ si $f(x)$ se rapproche de $l$ lorsque $x$ prend des valeurs positives de plus en plus grandes. On note $\lim_{x \to +\infty} f(x) = l$. *(Géométriquement, la droite d'équation $y = l$ est une asymptote horizontale à la courbe de $f$)*.

Limite infinie en l’infini

Propriété
[Limites usuelles en $\pm\infty$]
  • $\lim_{x \to +\infty} x^n = +\infty (n \in \mathbb{N}^*)$
  • $\lim_{x \to -\infty} x^n = +\infty$ si $n$ est pair, et $\lim_{x \to -\infty} x^n = -\infty$ si $n$ est impair.
  • $\lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$
  • $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x^n} = 0 (n \in \mathbb{N}^*)$

Opérations sur les limites et Formes Indéterminées

Somme de deux fonctions

Produit de deux fonctions

Quotient de deux fonctions

Limites des fonctions polynômes et rationnelles

Théorème
  • La limite d'une fonction polynôme en $+\infty$ ou $-\infty$ est égale à la limite de son monôme de plus haut degré.
  • La limite d'une fonction rationnelle en $+\infty$ ou $-\infty$ est égale à la limite du quotient de ses monômes de plus haut degré.
Exemple
1) $\lim_{x \to +\infty} (2x^3 – 5x^2 + x – 1) = \lim_{x \to +\infty} 2x^3 = +\infty$.
2) $\lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2 – 5x + 2}{x^4 + 2} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3x^2}{x^4} = \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{x^2} = 0$.

Limites des fonctions trigonométriques

Propriété
[Limites trigonométriques remarquables] Les limites suivantes en 0 sont fondamentales : \[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1, \lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{x} = 1, \lim_{x \to 0} \frac{1 – \cos x}{x^2} = \frac{1}{2} \]
Exercice
Calculer $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(2x)}$.

Limites et ordre (Théorèmes de comparaison)

Théorème
[Théorème des Gendarmes] Soient $f, g$ et $h$ trois fonctions définies sur un intervalle contenant $a$ (sauf éventuellement en $a$). Si $g(x) \le f(x) \le h(x)$ et si $\lim_{x \to a} g(x) = \lim_{x \to a} h(h) = l$, alors : \[ \lim_{x \to a} f(x) = l \] *(Ce théorème s'applique également lorsque $x \to +\infty$ ou $x \to -\infty$)*.
Théorème
[Théorèmes de divergence]
  • Si $f(x) \ge g(x)$ et $\lim_{x \to a} g(x) = +\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = +\infty$.
  • Si $f(x) \le h(x)$ et $\lim_{x \to a} h(x) = -\infty$, alors $\lim_{x \to a} f(x) = -\infty$.

Exercices de synthèse

Exercice
Calculer rigoureusement les quatre limites suivantes :
  1. $\lim_{x \to 0} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)$
  2. $\lim_{x \to +\infty} \frac{\cos x}{x^3}$
  3. $\lim_{x \to +\infty} \frac{1 + \sin x}{x^2(2 + \cos x)}$
  4. $\lim_{x \to -\infty} 1 + \frac{x}{2 + \sqrt{x^4 + 1}}$