Barycentre dans le plan
Barycentre de deux points pondérés
Système pondéré et définition du barycentre
• Soit $A$ un point du plan et $a$ un nombre réel. Le couple $(A, a)$ est appelé un point pondéré (ou point affecté du coefficient $a$).
• Un ensemble de points pondérés $S = \{(A, a), (B, b)\}$ est appelé un système pondéré.
Si $a + b \neq 0$, alors il existe un unique point $G$ du plan tel que :
\[ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} \]
Ce point $G$ est appelé le barycentre du système pondéré $\{(A, a), (B, b)\}$.
[Homogénéité]
Le barycentre d'un système pondéré ne change pas si on multiplie ou on divise ses coefficients par un même réel non nul $k$.
\[ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} \iff (ka)\overrightarrow{GA} + (kb)\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0} (k \neq 0) \]
[Isobarycentre]
Si $a = b$ (avec $a \neq 0$), le barycentre $G$ du système $\{(A, a), (B, a)\}$ est appelé l'isobarycentre des points $A$ et $B$. Dans ce cas, $G$ est le milieu du segment $[AB]$.
Propriété caractéristique et construction
[Propriété caractéristique]
Soit $G$ le barycentre du système pondéré $\{(A, a), (B, b)\}$ avec $a+b \neq 0$.
Pour tout point $M$ du plan, on a :
\[ a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} = (a+b)\overrightarrow{MG} \]
Soient $A$ et $B$ deux points distincts du plan.
- Construire le point $G$ barycentre de $\{(A, 1), (B, 2)\}$.
- Construire le point $H$ barycentre de $\{(A, 3), (B, -1)\}$.
Barycentre de trois points pondérés
Définition et propriété caractéristique
Soit $\{(A, a), (B, b), (C, c)\}$ un système pondéré tel que $a + b + c \neq 0$.
Il existe un unique point $G$ du plan tel que :
\[ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0} \]
Le point $G$ est le barycentre du système pondéré $\{(A, a), (B, b), (C, c)\}$.
[Propriété caractéristique]
Le point $G$ est le barycentre de $\{(A, a), (B, b), (C, c)\}$ si et seulement si pour tout point $M$ du plan :
\[ a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} = (a+b+c)\overrightarrow{MG} \]
[Isobarycentre de trois points]
Si $a = b = c \neq 0$, le barycentre $G$ est appelé l'isobarycentre des points $A$, $B$ et $C$. C'est le centre de gravité du triangle $ABC$.
Associativité du barycentre (Barycentre partiel)
[Principe d'associativité]
Le barycentre de trois points pondérés ne change pas si l'on remplace deux points par leur barycentre partiel affecté de la somme de leurs coefficients (à condition que cette somme soit non nulle).
Si $G_1$ est le barycentre de $\{(A, a), (B, b)\}$ avec $a+b \neq 0$, alors $G$ est le barycentre du système :
\[ \{(G_1, a+b), (C, c)\} \]
Soit $ABC$ un triangle. On considère le point $G$ barycentre de $\{(A, 1), (B, 1), (C, 2)\}$.
- En utilisant le barycentre partiel $I$ de $A$ et $B$, montrer que $G$ est le milieu du segment $[IC]$.
- Construire le point $G$.
Généralisation : Barycentre de quatre points pondérés
Soit $\{(A, a), (B, b), (C, c), (D, d)\}$ un système pondéré tel que $a + b + c + d \neq 0$.
Il existe un unique point $G$ du plan tel que :
\[ a\overrightarrow{GA} + b\overrightarrow{GB} + c\overrightarrow{GC} + d\overrightarrow{GD} = \overrightarrow{0} \]
[Propriété caractéristique]
Pour tout point $M$ du plan, on a :
\[ a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB} + c\overrightarrow{MC} + d\overrightarrow{MD} = (a+b+c+d)\overrightarrow{MG} \]
[Associativité élargie]
Si $G_1$ est le barycentre de $\{(A, a), (B, b)\}$ et $G_2$ est le barycentre de $\{(C, c), (D, d)\}$ (avec $a+b \neq 0$ et $c+d \neq 0$), alors $G$ est le barycentre de :
\[ \{(G_1, a+b), (G_2, c+d)\} \]
Coordonnées du barycentre
Le plan est rapporté à un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$.
Soit $G$ le barycentre du système $\{(A, a), (B, b), (C, c)\}$ avec $a+b+c \neq 0$.
Les coordonnées $(x_G, y_G)$ du point $G$ sont données par :
\[ x_G = \frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c} \text{et} y_G = \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c} \]
Dans un repère orthonormé, on donne les points $A(1, 2)$, $B(-2, 3)$ et $C(0, 4)$.
Déterminer les coordonnées du point $G$ barycentre du système $\{(A, 2), (B, -1), (C, 3)\}$.
Applications géométriques : Ensembles de points
Soit $G$ le barycentre de $\{(A, a), (B, b)\}$ avec $a+b \neq 0$.
- L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB}\| = k$ (avec $k \in \mathbb{R}^+$) équivaut à : \[ \|(a+b)\overrightarrow{MG}\| = k \iff MG = \frac{k}{|a+b|} \] Il s'agit d'un cercle de centre $G$ et de rayon $R = \frac{k}{|a+b|}$.
- L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|a\overrightarrow{MA} + b\overrightarrow{MB}\| = \|a'\overrightarrow{MA} + b'\overrightarrow{MB}\|$ se ramène à une égalité de distances du type $k \cdot MG = k' \cdot MG'$, ce qui définit généralement une droite (médiatrice) ou un cercle.
[Synthèse]
Soit $ABC$ un triangle tel que $AB = 6$ cm.
- Déterminer et construire l'ensemble $(\mathcal{E}_1)$ des points $M$ du plan tels que : \[ \|\overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB}\| = 9 \]
- Déterminer et construire l'ensemble $(\mathcal{E}_2)$ des points $M$ du plan tels que : \[ \|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\| = \|\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MB}\| \]