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Rotation dans le plan

Définition et notions fondamentales

Définition d’une rotation

Définition
Soit $\Omega$ un point du plan $(\mathcal{P})$ et $\theta$ un nombre réel. La rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$, notée $R(\Omega, \theta)$, est l'application du plan $(\mathcal{P})$ dans lui-même qui :
  • Associe au centre $\Omega$ le point $\Omega$ lui-même : $R(\Omega, \theta)(\Omega) = \Omega$.
  • Associe à tout point $M$ distinct de $\Omega$ l'unique point $M'$ tel que : \[ \Omega M' = \Omega M \text{et} \left(\vec{\Omega M}, \vec{\Omega M'}\right) \equiv \theta \pmod{2\pi} \]
Remarque
Si l'angle $\theta$ de la rotation est non nul ($\theta \neq 2k\pi, k \in \mathbb{Z}$), son centre $\Omega$ est le seul point invariant du plan par cette application.

Cas particuliers et exemples

Exemple
  1. La symétrie centrale : La symétrie centrale $S_O$ de centre $O$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $\pi$. En effet, la condition devient $\left(\vec{OM}, \vec{OM'}\right) \equiv \pi \pmod{2\pi}$ et $OM = OM'$, ce qui place $O$ comme milieu du segment $[MM']$.
  2. L'identité du plan : L'identité du plan $\text{Id}_{(\mathcal{P})}$ est la rotation d'angle nul ($\theta \equiv 0 \pmod{2\pi}$). Dans ce cas, tous les points du plan sont invariants et peuvent être considérés comme centres de cette rotation.
Exercice
[Exercice 1] Soit $ABCD$ un carré de centre $O$ tel que l'angle orienté $\left(\vec{AB}, \vec{AD}\right)$ soit positif (sens direct).
  1. Soit $r_A$ la rotation de centre $A$ et d'angle $\frac{\pi}{2}$. Déterminer $r_A(A)$, $r_A(B)$ et $r_A(D)$.
  2. Soit $r_O$ une rotation de centre $O$ et d'angle $\alpha$. Comment choisir $\alpha$ pour avoir :
    1. $r_O(A) = B$ ?
    2. $r_O(A) = C$ ?

Propriétés géométriques de la rotation

Propriété caractéristique (Isométrie)

Propriété
[Propriété caractéristique] Soit $r$ une rotation d'angle $\theta$. Si $M'$ et $N'$ sont les images respectives de deux points quelconques $M$ et $N$ du plan ($M' = r(M)$ et $N' = r(N)$), alors :
  1. $M'N' = MN$ : La rotation conserve la distance, c'est une isométrie.
  2. Si $M \neq N$, on a la relation fondamentale sur les angles orientés de vecteurs : \[ \left(\vec{MN}, \vec{M'N'}\right) \equiv \theta \pmod{2\pi} \]

Propriétés de conservation

Propriété
Du fait qu'elle est une isométrie, la rotation possède les propriétés de conservation fondamentales suivantes :
  • Conservation de l'alignement : Si trois points $A$, $B$ et $C$ sont alignés, leurs images $A'$, $B'$ et $C'$ par une rotation le sont également.
  • Conservation du milieu : L'image du milieu d'un segment $[AB]$ est le milieu du segment image $[A'B']$.
  • Conservation du coefficient de colinéarité : Si $\vec{AB} = k\vec{CD}$, alors $\vec{A'B'} = k\vec{C'D'}$.
  • Conservation du barycentre : L'image du barycentre d'un système de points pondérés est le barycentre des images de ces points munis des mêmes coefficients.
  • Conservation des angles géométriques et des aires : La rotation préserve la mesure des angles ainsi que la surface des figures.

Image de figures usuelles par une rotation

Propriété
Soit $r$ une rotation de centre $\Omega$ et d'angle $\theta$.
  • Image d'un segment : L'image d'un segment $[AB]$ est le segment $[A'B']$ avec $A'=r(A)$ et $B'=r(B)$.
  • Image d'une droite : L'image d'une droite $(D)$ est une droite $(D')$. Si l'angle $\theta \neq k\pi$, $(D)$ et $(D')$ sont sécantes et l'angle qu'elles forment correspond à $|\theta|$.
  • Image d'une demi-droite : L'image de $[AB)$ est la demi-droite $[A'B')$.
  • Image d'un cercle : L'image d'un cercle $\mathcal{C}(I, R)$ de centre $I$ et de rayon $R$ est un cercle $\mathcal{C'}(I', R)$ de même rayon $R$, où le nouveau centre $I'$ est l'image directe de $I$ par la rotation ($I' = r(I)$).

Exercice de synthèse

Exercice
Soit $ABCD$ un carré de centre $O$ tel que le triangle $ABC$ soit orienté dans le sens direct. On considère quatre points $M$, $N$, $P$ et $Q$ appartenant respectivement aux segments $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$ de telle sorte que : \[ AM = BN = CP = DQ = \frac{1}{3}AB \] On considère la rotation $r$ de centre $O$ et d'angle $-\frac{\pi}{2}$ (sens indirect).
  1. Faire une figure convenable dans le cas où $AB = 6\text{ cm}$.
  2. Montrer que $r(A) = B$, puis prouver que $r(M) = N$, $r(N) = P$, $r(P) = Q$ et $r(Q) = M$.
  3. Soit $F$ le milieu du segment $[AM]$ et $G$ le milieu du segment $[BN]$.
    1. Montrer que $r(F) = G$.
    2. En déduire que le triangle $FOG$ est un triangle isocèle et rectangle en $O$.