Dérivabilité d’une fonction en un point
Nombre dérivé
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle ouvert $I$ et $x_0$ un élément de $I$.
On dit que la fonction $f$ est dérivable en $x_0$ s'il existe un réel $l$ tel que :
\[ \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = l \text{ou} \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) – f(x_0)}{h} = l \]
Le réel $l$ est appelé le nombre dérivé de la fonction $f$ en $x_0$ et il est noté $\mathbf{f'(x_0)}$.
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^2$. Étudions la dérivabilité de $f$ en $x_0 = 3$.
\[ \lim_{x \to 3} \frac{f(x) – f(3)}{x – 3} = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 – 9}{x – 3} = \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3} (x+3) = 6 \]
Puisque la limite est un nombre réel fini, $f$ est dérivable en $3$ et on a $f'(3) = 6$.
Tangente à la courbe représentative
Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0$ et $(\mathcal{C}_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
La courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet au point $A(x_0, f(x_0))$ une tangente $(T)$ dont l'équation cartésienne est :
\[ (T) : y = f'(x_0)(x – x_0) + f(x_0) \]
Dérivabilité à droite et à gauche en un point
- On dit que $f$ est dérivable à droite en $x_0$ si la limite suivante existe et est finie : \[ \lim_{x \to x_0^+} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = l_d = f_d'(x_0) (\text{Nombre dérivé à droite}) \]
- On dit que $f$ est dérivable à gauche en $x_0$ si la limite suivante existe et est finie : \[ \lim_{x \to x_0^-} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = l_g = f_g'(x_0) (\text{Nombre dérivé à gauche}) \]
Une fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en $x_0$ et que ses nombres dérivés à droite et à gauche sont égaux :
\[ f \text{ est dérivable en } x_0 \iff f_d'(x_0) = f_g'(x_0) \]
[Points anguleux et demi-tangentes]
- Si $f_d'(x_0) \neq f_g'(x_0)$, la courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet deux demi-tangentes de coefficients directeurs différents au point $A(x_0, f(x_0))$. Ce point est alors appelé un point anguleux.
- Si $\lim_{x \to x_0^{\pm}} \frac{f(x) – f(x_0)}{x – x_0} = \pm\infty$, la fonction n'est pas dérivable mais la courbe $(\mathcal{C}_f)$ admet une demi-tangente verticale en ce point.
Approximation locale affine
Si $f$ est dérivable en $x_0$, alors pour $h$ proche de $0$, on peut approcher $f(x_0+h)$ par une fonction affine :
\[ f(x_0 + h) \approx f(x_0) + h \cdot f'(x_0) \]
L'expression $g(h) = f(x_0) + h \cdot f'(x_0)$ est appelée l'approximation locale affine de $f$ au voisinage de $x_0$.
Dérivabilité sur un intervalle et Fonctions dérivées
Dérivabilité sur un intervalle
- Une fonction $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ si elle est dérivable en tout point de $I$.
- La fonction qui à chaque $x \in I$ associe son nombre dérivé $f'(x)$ est appelée fonction dérivée de $f$ sur $I$, notée $f'$.
Dérivées des fonctions usuelles
Opérations sur les fonctions dérivées
Dérivée de fonctions composées particulières
En appliquant les règles de composition, on obtient les formules suivantes :
- Puissance d'une fonction : $\left(u(x)^n\right)' = n \cdot u'(x) \cdot u(x)^{n-1} (n \in \mathbb{N}^*)$
- Racine d'une fonction : $\left(\sqrt{u(x)}\right)' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} (\text{si } u(x) > 0)$
- Composition linéaire : $\left(u(ax+b)\right)' = a \cdot u'(ax+b)$
Dérivées successives
Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$. Si la fonction dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$, sa dérivée est notée $f''$ ou $f^{(2)}$ et est appelée dérivée seconde de $f$.
De manière générale, la dérivée $n$-ième est notée $f^{(n)}$.
Applications de la dérivation
Monotonie et variations d’une fonction
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$.
- $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si pour tout $x \in I$, $f'(x) \ge 0$.
- $f$ est décroissante sur $I$ si et seulement si pour tout $x \in I$, $f'(x) \le 0$.
- $f$ est constante sur $I$ si et seulement si pour tout $x \in I$, $f'(x) = 0$.
Extrémums d’une fonction
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et $\alpha \in I$.
Si la fonction dérivée $f'$ s'annule en $\alpha$ en changeant de signe (positive avant $\alpha$ et négative après, ou inversement), alors $f$ admet un extrémum local (maximum ou minimum) en $\alpha$.
Exercice d’application complet
Soit $f$ la fonction numérique définie sur $\mathbb{R}$ par :
\[ f(x) = 3x – x^3 \]
1. Dresser le tableau de variations complet de $f$ sur $\mathbb{R}$.
2. Déterminer les extrémums locaux de la fonction $f$.
2. Déterminer les extrémums locaux de la fonction $f$.
Équations différentielles du type $y” + \omega^2 y = 0$
Soit $\omega$ un réel non nul. L'équation :
\[ y'' + \omega^2 y = 0 \]
où l'inconnue $y$ est une fonction numérique de la variable $x$, deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$, est appelée équation différentielle linéaire du second ordre.
Les solutions sur $\mathbb{R}$ de l'équation différentielle $y'' + \omega^2 y = 0$ sont les fonctions de la forme :
\[ f(x) = \alpha \cos(\omega x) + \beta \sin(\omega x) \]
où $\alpha$ et $\beta$ sont deux constantes réelles déterminées à l'aide des conditions initiales.