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Géométrie dans l’espace

Prolongement de la notion de vecteur à l’espace

Définition et propriétés fondamentales

Définition
Soient $A$ et $B$ deux points de l'espace. Le couple $(A, B)$ définit un vecteur noté $\overrightarrow{AB}$. Si $A \neq B$, le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est caractérisé par :
  • Sa direction : la droite $(AB)$.
  • Son sens : de $A$ vers $B$.
  • Sa norme : la longueur du segment $[AB]$, notée $\|\overrightarrow{AB}\| = AB$.
Si $A = B$, le vecteur $\overrightarrow{AA} = \vec{0}$ est appelé le vecteur nul. Sa norme est nulle et il n'a ni direction ni sens particulier.
Propriété
Toutes les règles de calcul vectoriel établies dans le plan (relation de Chasles, règle du parallélogramme, multiplication par un scalaire) restent valables dans chaque plan de l'espace.
Exemple
  • Le point $I$ est le milieu du segment $[AB]$ si et seulement si $\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI}$ ou $\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}$.
  • Soient $A$, $B$ et $C$ trois points non alignés de l'espace. Ils déterminent un plan unique noté $(ABC)$.

Somme de vecteurs et multiplication par un réel

Propriété
Pour tous vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ de l'espace et pour tous réels $\alpha$ et $\beta$ :
\[\begin{aligned}\vec{u} + \vec{v} &= \vec{v} + \vec{u} \\ (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} &= \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w}) \\ \alpha(\vec{u} + \vec{v}) &= \alpha\vec{u} + \alpha\vec{v} \\ (\alpha + \beta)\vec{u} &= \alpha\vec{u} + \beta\vec{u}\end{aligned}\]

Colinéarité de deux vecteurs et droites de l’espace

Vecteurs colinéaires

Définition
Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires si et seulement si l'un est le produit de l'autre par un réel. Autrement dit, il existe un réel $k$ tel que $\vec{v} = k\vec{u}$ (ou $\vec{u} = k\vec{v}$).
Propriété
  • Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ and $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
  • Trois points distincts $A$, $B$ et $C$ sont alignés si et seulement si les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.

Caractérisation vectorielle d’une droite

Théorème
Soit $A$ un point de l'espace et $\vec{u}$ un vecteur non nul. La droite $D(A, \vec{u})$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\vec{u}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ soient colinéaires : \[ M \in D(A, \vec{u}) \iff \exists t \in \mathbb{R}, \overrightarrow{AM} = t\vec{u} \]

Coplanarité de trois vecteurs et plans de l’espace

Vecteurs coplanaires

Définition
On dit que trois vecteurs $\vec{u}$, $\vec{v}$ et $\vec{w}$ ($\vec{u}$ et $\vec{v}$ n'étant pas colinéaires) sont coplanaires s'il existe deux réels $\alpha$ et $\beta$ tels que : \[ \vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v} \] Géométriquement, cela signifie que si l'on place ces trois vecteurs à partir d'un même point origine, leurs extrémités appartiennent à un même plan.

Caractérisation vectorielle d’un plan

Théorème
Soit $A$ un point de l'espace, et $\vec{u}$, $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires. Le plan $P(A, \vec{u}, \vec{v})$ passant par $A$ et de vecteurs directeurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est l'ensemble des points $M$ de l'espace tels que : \[ M \in P(A, \vec{u}, \vec{v}) \iff \exists (\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2, \overrightarrow{AM} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v} \]

Bases et Repères dans l’espace

Définition
  • On appelle base de l'espace tout triplet $(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$ de trois vecteurs non coplanaires. Tout vecteur $\vec{u}$ de l'espace s'exprime de façon unique sous la forme $\vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$. Le triplet $(x, y, z)$ représente les coordonnées de $\vec{u}$.
  • Un repère de l'espace est la donnée d'un point origine $O$ et d'une base, noté $(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})$. Les coordonnées d'un point $M$ sont celles du vecteur $\overrightarrow{OM}$.

Exercice d’application : Configuration dans un parallélépipède

Exercice
Soit $ABCDEFGH$ un parallélépipède de l'espace. On désigne par $I$ le milieu du segment $[AB]$ et par $J$ un point tel que la relation géométrique structurelle donne $\overrightarrow{EJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{EC}$.
  1. Exprimer le vecteur $\overrightarrow{EC}$ en fonction de $\overrightarrow{AE}$, $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AD}$.
  2. Démontrer la relation vectorielle : $\overrightarrow{EJ} = \frac{1}{3}\overrightarrow{EC}$.