Déterminer les branches infinies d'une courbe représentative (asymptotes verticales, horizontales, obliques et branches paraboliques).
Étudier la concavité d'une courbe et déterminer ses points d'inflexion en utilisant la dérivée seconde.
Montrer qu'une droite d'équation $x = a$ est un axe de symétrie ou qu'un point $\Omega(a;b)$ est un centre de symétrie d'une courbe.
Plan du cours
Branches infinies
Concavité d'une courbe – Points d'inflexion
Éléments de symétrie d'une courbe
I.Branches infinies
Définition
Dans tout le chapitre, le plan est muni d'un repère orthogonal $(O;\vec{i},\vec{j})$.
Soient $f$ une fonction numérique et $(C_f)$ sa courbe représentative.
On dit que $(C_f)$ admet une branche infinie si l'une des coordonnées d'un point de $(C_f)$ tend vers l'infini.
1.Asymptote verticale – Asymptote horizontale
Activité
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$ par $f(x) = \frac{x}{x-2}$.
a. Calculer les limites de $f$ au voisinage de $-\infty$ et $+\infty$.
b. Que peut-on dire sur $(C_f)$ au voisinage de $-\infty$ et $+\infty$ ?
a. Calculer $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^-} f(x)$.
b. Que peut-on dire sur $(C_f)$ au voisinage de 2 ?
Définition
Soient $f$ une fonction numérique et $a$ et $b$ deux nombres réels.
Si $\lim_{x \to a^+} f(x) = \infty$ ou $\lim_{x \to a^-} f(x) = \infty$, alors on dit que la droite d'équation $x = a$ est une asymptote verticale à la courbe $(C_f)$.
Si $\lim_{x \to \infty} f(x) = b$, alors on dit que la droite d'équation $y = b$ est une asymptote horizontale à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $\infty$.
Exemple
On considère $f$ la fonction définie par $f(x) = \frac{3x^2+x-2}{x^2-4}$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} \frac{3x^2+x-2}{x^2-4} = +\infty$ alors $(C_f)$ admet une asymptote verticale d'équation $x = 2$.
Et on a $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2+x-2}{x^2-4} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2}{x^2} = 3$. Donc $(C_f)$ admet une asymptote horizontale d'équation $y = 3$ au voisinage de $+\infty$.
Application
On considère $f$ et $g$ deux fonctions définies respectivement par $f(x) = 5 + \frac{x}{x^2+3}$ et $g(x) = \frac{x+1}{(x-4)^2}$.
Calculer les limites de $f$ au voisinage de $-\infty$ et $+\infty$. Interpréter graphiquement les résultats.
Montrer que la droite d'équation $x = 4$ est une asymptote verticale à la courbe de $g$.
Application
On considère $f$ la fonction définie par son tableau de variations suivant :
Déterminer les éventuelles asymptotes à la courbe de $f$.
2.Asymptote oblique
Activité
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-\frac{3}{2}\}$ par $f(x) = \frac{x^2}{2x+3}$ et $(D)$ est la droite d'équation $y = \frac{1}{2}x – \frac{3}{4}$.
Calculer les limites de $f$ au voisinage de $-\infty$ et $+\infty$.
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $(a \neq 0)$.
Si $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) – (ax + b) \right) = 0$ (respectivement $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left( f(x) – (ax + b) \right) = 0$), alors on dit que la droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$ (respectivement $-\infty$).
Proposition
La droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (respectivement au voisinage de $-\infty$) si et seulement s'il existe une fonction $h$ telle que $f(x) = ax + b + h(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x) = 0$ (respectivement $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} h(x) = 0$).
Exemple
On considère $f$ la fonction définie par $f(x) = 2x – 3 + \frac{x}{2x^2+1}$.
On a $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left( f(x) – (2x – 3) \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{2x^2+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{2x} = 0$.
Donc la droite d'équation $y = 2x – 3$ est une asymptote oblique à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$.
Application
Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R} \setminus \{3\}$ par : $f(x) = \frac{2x^2-7x+8}{x-3}$.
Montrer que la droite d'équation $y = 2x – 1$ est une asymptote oblique à $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ et de $-\infty$.
Proposition
Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $(a \neq 0)$.
La droite d'équation $y = ax + b$ est une asymptote oblique à la courbe $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ (respectivement au voisinage de $-\infty$) si et seulement si :
Déterminer l'équation de l'asymptote oblique au voisinage de $+\infty$ à la courbe $(C_f)$ dans chacun des cas suivants :
$f(x) = \frac{3x^3+x^2-1}{x^2}$
$f(x) = \frac{\sin(x)}{x} + 2x$
3.Branches paraboliques
Définition
Soit $f$ une fonction telle que $\lim_{x \to \pm\infty} f(x) = \pm\infty$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$.
Si $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = 0$, alors on dit que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $\infty$.
Si $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \infty$, alors on dit que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $\infty$.
Si $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = a$ et $\displaystyle \lim_{x \to \infty} (f(x) – ax) = \infty$, alors on dit que $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = ax$ au voisinage de $\infty$.
Exemple
Illustration graphique d'une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées :
Exemple
Illustration graphique d'une branche parabolique de direction l'axe des abscisses :
Exemple
Illustration graphique d'une branche parabolique de direction la droite $(D)$ :
Exemple
On considère $f$, $g$ et $h$ les fonctions définies respectivement par $f(x) = 3x^2 – 2x + 1$, $g(x) = \sqrt{3x – 2}$ et $h(x) = 2x + \sqrt{x}$.
On a $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} 3x^2 – 2x + 1 = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2-2x+1}{x} = +\infty$.
Donc $(C_f)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des ordonnées au voisinage de $+\infty$.
On a $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} g(x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{3x – 2} = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{3x-2}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{\frac{3x-2}{x^2}} = 0$.
Donc $(C_g)$ admet une branche parabolique de direction l'axe des abscisses au voisinage de $+\infty$.
On a $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} 2x + \sqrt{x} = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac{h(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x+\sqrt{x}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(2 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right) = 2$ et
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} (h(x) – 2x) = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{x} = +\infty$. Donc $(C_h)$ admet une branche parabolique de direction la droite d'équation $y = 2x$ au voisinage de $+\infty$.
Application
Déterminer la branche parabolique de $(C_f)$ au voisinage de $+\infty$ dans chacun des cas suivants :
$f(x) = x^3 – 4x^2 – 1$
$f(x) = \sqrt{x+1} – 2x$
$f(x) = \frac{2x-5}{\sqrt{x+3}}$
Méthode
[Résumé : Branches infinies]
II.Concavité d’une courbe – Points d’inflexion
Définition
Soit $f$ une fonction dérivable sur un intervalle $I$ et $(C_f)$ sa courbe dans un repère orthonormé $(O;\vec{i},\vec{j})$. On dit que $(C_f)$ est :
convexe (ou admet une concavité dirigée vers les ordonnées positives), si $(C_f)$ est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.
concave (ou admet une concavité dirigée vers les ordonnées négatives), si $(C_f)$ est entièrement située au-dessous de chacune de ses tangentes.
$A(a; f(a))$ est un point d'inflexion de $(C_f)$ si la courbe traverse sa tangente en ce point.
Exemple
La figure ci-dessous représente la courbe de la fonction cosinus sur $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$.
La fonction cosinus est concave sur $\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right]$ et convexe sur $\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right]$ et $A\left(\frac{\pi}{2}; 0\right)$ est un point d'inflexion de $(C_{\cos})$.
Remarque
Un point d'inflexion est un point de $(C_f)$ où la courbe $(C_f)$ change de concavité.
Proposition
Soient $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ et $(C_f)$ sa courbe représentative et $a \in I$.
Si $f''$ est positive sur l'intervalle $I$, alors $(C_f)$ est convexe.
Si $f''$ est négative sur l'intervalle $I$, alors $(C_f)$ est concave.
Si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe, alors le point $A(a; f(a))$ est un point d'inflexion de $(C_f)$.
Exemple
Soit $f$ la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = x^3 – 2x^2 + x – 1$.
Etudions la concavité de $(C_f)$ en précisant les points d'inflexion.
Application
Etudier la concavité de la courbe de la fonction $f$ en précisant les points d'inflexion s'ils existent dans chacun des cas suivants :
$f(x) = \frac{1}{12}x^4 – 2x^2 + 3x + 5$
$f(x) = x + \frac{1}{x-1}$
Application
La figure ci-dessous représente la courbe représentative d'une fonction $f$ définie sur $[-4; 4]$.
Etudier la concavité de la courbe de la fonction $f$ en précisant les points d'inflexion s'ils existent.
III.Eléments de symétrie d’une courbe
1.Axe de symétrie
Proposition
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
La droite $(\Delta)$ d'équation $x = a$ ($a \in \mathbb{R}$) est un axe de symétrie de la courbe $(C_f)$ si et seulement si :
\[\begin{cases}
(\forall x \in D); \ (2a – x) \in D \\
(\forall x \in D); \ f(2a – x) = f(x)
\end{cases}\]
Exemple
Montrons que la droite d'équation $(\Delta): x = -\frac{1}{2}$ est un axe de symétrie de la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x) = x^2 + x + 1$.
Application
Montrer que la droite $(D)$ est un axe de symétrie de $(C_f)$ dans chacun des cas suivants :
$f(x) = \frac{-3}{x^2-4x+7}$ et $(D): x = 2$.
$f(x) = \sqrt{x^2 – 4x + 5}$ et $(D): x = 2$.
2.Centre de symétrie
Proposition
Soit $f$ une fonction définie sur un ensemble $D$ et $(C_f)$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
Le point $\Omega(a; b)$ tel que $(a; b) \in \mathbb{R}^2$ est un centre de symétrie de la courbe $(C_f)$ si et seulement si :
\[\begin{cases}
(\forall x \in D); \ (2a – x) \in D \\
(\forall x \in D); \ f(2a – x) + f(x) = 2b
\end{cases}\]
Exemple
Montrons que le point $\Omega(1; 1)$ est un centre de symétrie de la courbe de la fonction $f$ définie par $f(x) = \frac{x}{x-1}$.
Application
Montrer que le point $\Omega$ est un centre de symétrie de $(C_f)$ dans chacun des cas suivants :
$f(x) = \frac{-2x^2+7x-5}{2x-1}$ et $\Omega\left(\frac{1}{2}; \frac{5}{2}\right)$.
