Transformations trigonométriques
Formules d’addition
Formules de $\cos(a \pm b)$ et $\sin(a \pm b)$
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
\[
\begin{aligned}
\cos(a – b) &= \cos a \cos b + \sin a \sin b
\cos(a + b) &= \cos a \cos b – \sin a \sin b
\sin(a + b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b
\sin(a – b) &= \sin a \cos b – \cos a \sin b \end{aligned} \]
\cos(a + b) &= \cos a \cos b – \sin a \sin b
\sin(a + b) &= \sin a \cos b + \cos a \sin b
\sin(a – b) &= \sin a \cos b – \cos a \sin b \end{aligned} \]
En remarquant que $\frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} – \frac{\pi}{4}$, calculer les valeurs exactes de $\cos\left(\frac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$.
Formules de $\tan(a \pm b)$
Pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a$, $b$ et $a \pm b$ ne soient pas de la forme $\frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$), on a :
\[
\tan(a + b) = \frac{\tan a + \tan b}{1 – \tan a \tan b} \text{et} \tan(a – b) = \frac{\tan a – \tan b}{1 + \tan a \tan b}
\]
Formules de duplication et de linéarisation
Formules de duplication
Pour tout nombre réel $a$, on a :
\[
\begin{aligned}
\cos(2a) &= \cos^2 a – \sin^2 a = 2\cos^2 a – 1 = 1 – 2\sin^2 a
\sin(2a) &= 2\sin a \cos a \end{aligned} \] De plus, si $a \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ et $a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$), alors : \[ \tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a} \]
\sin(2a) &= 2\sin a \cos a \end{aligned} \] De plus, si $a \neq \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$ et $a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$), alors : \[ \tan(2a) = \frac{2\tan a}{1 – \tan^2 a} \]
Formules de linéarisation
Pour tout nombre réel $a$, on a :
\[ \cos^2 a = \frac{1 + \cos(2a)}{2} \text{et} \sin^2 a = \frac{1 – \cos(2a)}{2} \]
Formules de l’angle moitié (en fonction de $t = \tan\left(\frac{a}{2}\right)$)
Pour tout nombre réel $a$ tel que $a \neq \pi + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$), en posant $t = \tan\left(\frac{a}{2}\right)$, on a :
\[ \cos a = \frac{1 – t^2}{1 + t^2} , \sin a = \frac{2t}{1 + t^2} \text{et} \tan a = \frac{2t}{1 – t^2} \ (\text{si } a \neq \frac{\pi}{2} + k\pi) \]
Formules de transformation des sommes et des produits
Transformation de produits en sommes (Linéarisation)
Pour tous nombres réels $a$ et $b$, on a :
\[
\begin{aligned}
\cos a \cos b &= \frac{1}{2} \left[ \cos(a + b) + \cos(a – b) \right]
\sin a \sin b &= -\frac{1}{2} \left[ \cos(a + b) – \cos(a – b) \right]
\sin a \cos b &= \frac{1}{2} \left[ \sin(a + b) + \sin(a – b) \right] \end{aligned} \]
\sin a \sin b &= -\frac{1}{2} \left[ \cos(a + b) – \cos(a – b) \right]
\sin a \cos b &= \frac{1}{2} \left[ \sin(a + b) + \sin(a – b) \right] \end{aligned} \]
Transformation de sommes en produits
Pour tous nombres réels $p$ et $q$, on a :
\[
\begin{aligned}
\cos p + \cos q &= 2 \cos\left(\frac{p + q}{2}\right) \cos\left(\frac{p – q}{2}\right)
\cos p – \cos q &= -2 \sin\left(\frac{p + q}{2}\right) \sin\left(\frac{p – q}{2}\right)
\sin p + \sin q &= 2 \sin\left(\frac{p + q}{2}\right) \cos\left(\frac{p – q}{2}\right)
\sin p – \sin q &= 2 \cos\left(\frac{p + q}{2}\right) \sin\left(\frac{p – q}{2}\right) \end{aligned} \]
\cos p – \cos q &= -2 \sin\left(\frac{p + q}{2}\right) \sin\left(\frac{p – q}{2}\right)
\sin p + \sin q &= 2 \sin\left(\frac{p + q}{2}\right) \cos\left(\frac{p – q}{2}\right)
\sin p – \sin q &= 2 \cos\left(\frac{p + q}{2}\right) \sin\left(\frac{p – q}{2}\right) \end{aligned} \]
Transformer l'expression suivante en un produit de fonctions trigonométriques :
\[ A(x) = \sin(3x) + \sin x \]
Transformation de l’expression $a\cos x + b\sin x$
Soient $a$ et $b$ deux nombres réels tels que $(a, b) \neq (0, 0)$.
Pour tout réel $x$, on peut écrire :
\[ a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(x – \alpha) \]
où le réel $\alpha$ est déterminé par :
\[ \cos \alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \text{et} \sin \alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]
- Exprimer $\sqrt{3}\cos x + \sin x$ sous la forme $R\cos(x – \alpha)$.
- En déduire la résolution dans $\mathbb{R}$ de l'équation : $\sqrt{3}\cos x + \sin x = \sqrt{2}$.
Équations et inéquations trigonométriques
Rappels sur les équations fondamentales
Soit $\alpha$ un nombre réel donné.
- $\cos x = \cos \alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \ \text{ou} \ x = -\alpha + 2k\pi (k \in \mathbb{Z})$
- $\sin x = \sin \alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \ \text{ou} \ x = \pi – \alpha + 2k\pi (k \in \mathbb{Z})$
- $\tan x = \tan \alpha \iff x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z}) (\text{avec } x, \alpha \neq \frac{\pi}{2} + m\pi)$
Inéquations trigonométriques
- Résoudre dans l'intervalle $[0, 2\pi[$ l'inéquation suivante : $2\sin x – 1 \ge 0$.
- Résoudre dans l'intervalle $[-\pi, \pi]$ l'inéquation suivante : $2\cos x + \sqrt{2} < 0$.