À la fin de cette première version du chapitre Logique mathématique, l'élève de 1ère Bac Sciences et Technologies Mécaniques doit être capable de :
- Formaliser une affirmation, construire sa négation et utiliser implication, équivalence et quantificateurs
- identifier les données, les notations et les conditions propres au chapitre Principes de logique mathématique
- rédiger une solution structurée et vérifier la cohérence du résultat obtenu
- Situer le chapitre Logique mathématique et vérifier les prérequis.
- Comprendre les définitions et les résultats indispensables.
- Appliquer une méthode explicite à une situation standard.
- Étudier un exemple corrigé en contrôlant chaque étape.
- S'entraîner puis comparer sa démarche aux réponses courtes.
I.LOGIQUE MATHÉMATIQUE
Cette page constitue un socle de travail consacré au chapitre Logique mathématique pour le parcours 1ère Bac Sciences et Technologies Mécaniques. Elle présente les notions qui permettent de commencer les exercices sans remplacer le cours détaillé, les activités de classe ni la correction argumentée par un enseignant.
Prérequis utiles : ensembles, égalité et inégalité, langage mathématique. Avant de poursuivre, l'élève doit vérifier qu'il sait reconnaître les données, employer les notations du chapitre et effectuer les calculs élémentaires associés.
La lecture conseillée est progressive : comprendre d'abord les objets mathématiques, repérer ensuite les conditions des propriétés, reproduire l'exemple sans regarder la solution, puis traiter les questions de vérification. Une formule ne doit jamais être appliquée sans contrôler ses hypothèses.
1.Définition et vocabulaire
Le chapitre « Principes de logique mathématique » rassemble les objets et les méthodes nécessaires pour formaliser une affirmation, construire sa négation et utiliser implication, équivalence et quantificateurs. Un premier repère essentiel est le suivant : La négation de P∧Q est non P∨non Q.
Il faut connaître le sens de chaque symbole et préciser l'ensemble dans lequel on travaille. Cette précaution évite les erreurs de domaine, de signe ou d'indice et permet de rédiger une réponse compréhensible.
2.Résultats essentiels
Les résultats suivants forment le noyau minimal à maîtriser. Pour chacun, l'élève doit identifier les conditions d'utilisation avant de commencer les calculs :
- La négation de P∧Q est non P∨non Q.
- La négation de P∨Q est non P∧non Q.
- P⇒Q est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q fausse.
- La contraposée de P⇒Q est non Q⇒non P et lui est équivalente.
- P⇔Q signifie les deux implications P⇒Q et Q⇒P.
- La négation de ∀x P(x) est ∃x non P(x).
3.Méthode de résolution
Pour traiter une question standard sur ce chapitre, on peut suivre la démarche suivante :
- reformuler la question afin de déterminer s'il faut formaliser une affirmation, construire sa négation et utiliser implication, équivalence et quantificateurs
- relever les données et contrôler les prérequis utiles : ensembles, égalité et inégalité, langage mathématique
- choisir la propriété adaptée, notamment parmi les repères suivants : La négation de P∧Q est non P∨non Q. La négation de P∨Q est non P∧non Q.
- effectuer le calcul étape par étape, vérifier les conditions, puis interpréter le résultat dans le contexte demandé
4.Exemple corrigé
Énoncé. Nier : Pour tout réel x, x²≥x.
Solution. On remplace « pour tout » par « il existe » et on nie ≥ par <.
Conclusion. Il existe un réel x tel que x²<x ; par exemple x=1/2.
Pour réutiliser cette démarche, changer les données de l'énoncé et recommencer sans recopier mécaniquement les calculs. La structure du raisonnement reste utile, mais les conditions et le résultat doivent être recalculés.
Dans le parcours 1ère Bac Sciences et Technologies Mécaniques, ce chapitre peut être mobilisé de la manière suivante : Formaliser les conditions nécessaires au démarrage sûr d'un mécanisme.
L'objectif de cette application est de relier la technique mathématique à une situation lisible, sans confondre le modèle et la réalité. Il faut annoncer les variables, expliquer les hypothèses retenues et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
II.S’ENTRAÎNER ET VÉRIFIER
Traiter les trois questions suivantes sur une feuille. Pour chacune, écrire la propriété ou la définition utilisée, détailler le calcul principal et terminer par une conclusion :
- 1. Négation de x>2 et x<5 ?
- 2. Contraposée de « n divisible par 4 ⇒ n pair » ?
- 3. P⇔Q demande combien d'implications ?
Réponses courtes.
- 1. x≤2 ou x≥5.
- 2. n impair ⇒ n non divisible par 4.
- 3. Deux.